[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

Ali Nesin anesin at nesinvakfi.org
22 Ara 2010 Çar 17:02:39 EET


Kanitin sonunu getiremedim.

Ancak e(q) dizisinin dehsetengiz buyume hizi, tam olarak da, bu sayi
1/(2^{d(2^{e(N)}+m}'den kucuk olsun diye secilmistir. En azindan yeterince
buyuk bir N icin.

cümlesini anlayamadim. e'nin tanimini degistrmek mi gerekiyor acaba?
A

On 22.12.2010 07:20, E. Mehmet Kıral wrote:
> Herkesten ozur dilerim, hatali bir cikarimda bulunmusum.
>
> Hatam |alpha - p/q|>  epsilon/q^2 esitsizligini her q icin saglayan bir
> epsilon oldugu cumlesindeydi. Karistirmisim, dogru degil bu, sadece cebirsel
> sayilar icin dogru olan bir sey bu. Oysa Sum 10^(-n!) gibi sayilar var,
> oldukca yakininda kesirli sayilar var, paydasi nispeten kucuk olan.
>
> Q hangi sekilde siralanmis olursa olsun, G_m'lerin kesisimi sayilamaz
> sonsuzlukta eleman icerir.
>
> Simdi Q'nun {a_n} siralanmasini alalim. q bir sayma sayisi olsun, d(q)
> sayisi [0,1] araliginda paydasi sadelesmis halde q olan tum kesirlerin
> indislerinden buyuk bir sayi olsun dahasi d(q)<  d(q+1) de saglansin. (q=1
> icin boyle bir ikinci kosul yok).
>
> d(q) dizisinden bir de e(q) diye ayri bir dizi olusturalim, oyle ki e(1) =
> d(1) ve ayrica e(q + 1)>  2d(2^{d(q)}) olacak sekilde secelim. Herhangi bir
> m dogal sayisi icin, d artan bir dizi oldugundan e(q + 1)>  d(2^{d(q)}) + m
> saglanir.
>
> c_q, 0 ile 1'lerden olusan herhangi bir dizi olsun.
>
> Sum c_q 2^{-e(q)} \in [0,1] = alpha bir reel sayidir ve bu reel sayilardan
> sayilamaz sonsuzlukta vardir. Cunku 0 ve 1'lerden olusan dizilerden
> sayilamaz sonsuzlukta var.
>
> Herhangi bir m sabitleyelim, alpha'nin G_m icerisinde oldugunu gosterecegiz.
> Alpha'nin ikilik tabandaki ilk d(N)! hanesini alalim. Yani 1'den N'ye kadar
> Sum c_q 2^{-e(q)}. Bu kesirli sayinin paydasi 2^{e(N)}'den kucuktur.
> Dolayisiyla en gec d(2^{e(N)})'inci eleman olarak dizide yer alabilir, yani
> kesirli sayi etrafinda cizilen araligin yaricapi 1/(2^{d(2^{e(N)})+m})'den
> buyuktur.
>
> Peki bu kesirli sayinin alpha'dan farki ne kadar kucuktur? 1/2^{e(N+1)}
> kadar. Ancak e(q) dizisinin dehsetengiz buyume hizi, tam olarak da, bu sayi
> 1/(2^{d(2^{e(N)}+m}'den kucuk olsun diye secilmistir. En azindan yeterince
> buyuk bir N icin.
>
> Dolayisiyla alpha, G_m'nin bir elemani, her m icin bu dogru oldugundan,
> alpha ayrica kesisimde.
>
> Tum G_m'lerin kesisimi, olcusu 0 olan, ama sayilamaz sonsuzlukta eleman
> iceren. Ayrica kesirli olmayan tum elemanlari askin olan ilginc bir kume.
> Ustelik kesirli sayilarin siralanisi ne olursa olsun dogru bu.
>
>
>
> 2010/12/21 E. Mehmet Kıral<luzumi at gmail.com>
>
>> Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.
>>
>> Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan sunu
>> soyleyebilirim.
>>
>> Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
>> Dolayisiyla sayilabilirdir.
>>
>> Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek sekilde
>> kesirlileri siralayabiliriz.
>>
>> Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de Q
>> \cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
>> kesirlileri de
>>
>> 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, ...
>> biciminde siralayalim.
>>
>> Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
>> sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
>> epsilon>0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
>> |alpha - p/q |>  epsilon/q^2.
>> Bir sonuc olarak |alpha - p/q|<  1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida p/q
>> icin saglanir, cikar.
>>
>> Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
>> kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
>> siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
>> gec yaklasiyorlar.
>>
>> Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim
>> sayilabilir.
>>
>> Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
>> bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
>> tabii ki.
>>
>> 2010/12/21 Ezgi Kantarcı<ezzzgi at gmail.com>
>>
>> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
>>> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>>>
>>> 2010/12/22 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>
>>>
>>>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>>>> A
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>>
>>>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>>>
>>>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>>>
>>>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>>
>>>>>   Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>>>> A
>>>>>> _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>   _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>
>> --
>> Eren Mehmet Kıral
>>
>
>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi