[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

[E. Mehmet Kıral]

Demek ki pek acik yazmamisim, biraz daha aciklayayim.

Evet herhangi bir sayiyi icerebiliyoruz kumemizde, siralamayi degistirerek.
Ama benim kanitin dedigi herhangi bir siralama verildigi zaman o siralama
sonucunda sayilamaz sonsuzlukta elemanin kesisimde oldugu, yani

Sonsuz sayida eleman iceriyor olmamiz sundan, ikilik tabanda

0.(a_1)00000a(2)0000000000000000000000000000000000a(3)000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000a(4)0000000000000....

biciminde yazilan sayilarin sayisi, sayilamaz sonsuzlukta, ve bu elemanlarin
her birinin tum G_m'lerin kesisiminde oldugunu gosteriyorum. a_i'lerin
arasinda ne kadar sifir koydugumuz verilen Q siralamasina gore degisiyor.
Q'nun siralamasindan bir d dizisi elde ediyoruz, oradan da bir e dizisi.

Bu arada evet hatali yazmisim e dizisinin tanimini, yazmak istedigim suydu:
e(q+1) > 2d(2^{e(q)}) Hatta sanirim e(q+1) > e(q) kosulunu da eklemek
gerekiyor, otomatik cikmiyor sanirim.

Oyle olduktan sonra e(q) arttigindan, 2^{e(q)} da, dolayisiyla d(2^{e(q)})
da artiyor, ve sonuc olarak d(2^{e(q)}) belli bir q'dan sonra sabit bir m'yi
asiyor. Boylece
e(q + 1) > d(2^{e(q)}) + d(2^{e(q)}) > d(2^{e(q)}) + m.

Hatadan dolayi zamaninizi aldiysam ozur dilerim.

Kanitin sonunda istedigimiz esitsizlik alpha'nin kesirli sayidan farkinin,
ki bu farkin 1/2^{e(N+1)}'den kucuk oldugunu biliyoruz, kesirli sayinin
etrafinda cizdigimiz araligin yaricapindan buyuk olmasi, ve ayrica bu
yaricapin da 1/[2^{d(2^{e(N)} )  + m}]'den buyuk oldugunu biliyoruz, cunku
kesirli sayinin, Q'nun siralanisi icerisindeki yeri en fazla d(2^{e(N)}).
Demek ki eger

1/2^{e(N+1)} < 1/[2^{d(2^{e(N)} )  + m}] esitsizligini gosterirsek
istedigimizi kanitlami olacagiz.

Bu da e(N+1) > d(2^{e(N)}) + m saglanirsa gerceklesir. N yeterince buyukse,
bu esitsizlik saglaniyor.

sanirim yaricap'tan bahsederken de bazi parantez hatalarinda bulunmusum.

En son olarak bir hatadan daha bahsedeyim, kesisimde Q'da olmayan her
elemanin askin oldugunu soylemistim, bu dogru degil. Burak Kaya'nin da
dedigi gibi herhangi bir gercel sayiyi, kesisimde oldurtacak sekilde
dizilisi secebiliyoruz. Soyleyebilecegim tek sey su, olusturdugum alpha
sayilarinin hepsi askin. Yani sayilamaz oldugunu gosterdigim. Bu da garip
degil. Cebirsel sayilardan zaten sayilabilir tane var, ve onlari kullanarak
sayilamazligi gostermek pek mumkun olmasa gerek.

2010/12/22 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>

> Bana sıralamaya bağlıymış gibi geldi hangi sayının içeride olduğu. alpha
> \in (0,1) alalım ve alpha = Sum_1^infty alpha_n.2^-n sayının ikilik
> gösterimi olsun. gamma_n = Sum_1^n alpha_i.2^-i şeklinde gamma_n sayıları
> tanımlayalım. |gamma_n-alpha|<=2^-n olacaktır o zaman.
>
> Şimdi bir a_n dizilimi için, her m için öyle bir n vardır ki alpha \in
> B(a_n,2^-(m+n))=I_{m,n} olduğunu gösterirsek, o zaman her m için alpha \in
> G_m olacak, dolayısıyla alpha \in B olacak. Ama dizilimimizi bunu
> doğrulayacak şekilde seçebiliyoruz. Şöyle ki:
>
> {gamma_(3n) : n>=1} dışında kalan rasyonel sayıları bir şekilde
> sıralayalım, b_n diyelim bu sıralamaya. Daha sonra (a_n)=(gamma_3, b_1,
> gamma_6, b_2, gamma_9, b_3...) şeklinde tüm rasyonelleri sıralayalım.
>
> Şimdi verilen bir m>=1 için, n=2m-1 seçelim. O zaman a_n=gamma_(3m) olacak.
> Ayrıca |gamma_k-alpha|<=2^-k olduğundan
> dolayı, |alpha-a_n|=|alpha-gamma_(3m)|<=2^-(3m) olacak. Dolayısıyla alpha
> \in B[gamma_(3m),2^-(3m)] \subset B(gamma_(3m), 2^-(3m-1)) = B(a_n,
> 2^-(n+m))=I_{m,n}. Buradan da alpha \in \cup I_{m,n}=G_m. Bu işlemi her m
> için yapabiliyoruz, o zaman alpha \in \cap G_m = G.
>
> Dolayısıyla istediğimiz her sayıyı içeriye katacak bir sıralama seçmek
> mümkün. Ölçünün sıfır olması gerektiği görülebiliyor ama henüz çözümünüzü
> tam anlayamadığımdan dolayı neden sayılamaz olması gerektiğini göremiyorum,
> uğraşacağım! :)
>
>
> 22 Aralık 2010 00:20 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazdı:
>
> Tum G_m'lerin kesisimi, olcusu 0 olan, ama sayilamaz sonsuzlukta eleman
>> iceren. Ayrica kesirli olmayan tum elemanlari askin olan ilginc bir kume.
>> Ustelik kesirli sayilarin siralanisi ne olursa olsun dogru bu.
>>
>>
>>
>> 2010/12/21 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
>>
>> Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.
>>>
>>> Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan
>>> sunu soyleyebilirim.
>>>
>>> Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
>>> Dolayisiyla sayilabilirdir.
>>>
>>> Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek
>>> sekilde kesirlileri siralayabiliriz.
>>>
>>> Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de
>>> Q \cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
>>> kesirlileri de
>>>
>>> 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7,
>>> ... biciminde siralayalim.
>>>
>>> Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
>>> sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
>>> epsilon >0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
>>> |alpha - p/q | > epsilon/q^2.
>>> Bir sonuc olarak |alpha - p/q| < 1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida
>>> p/q icin saglanir, cikar.
>>>
>>> Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
>>> kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
>>> siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
>>> gec yaklasiyorlar.
>>>
>>> Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim
>>> sayilabilir.
>>>
>>> Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
>>> bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
>>> tabii ki.
>>>
>>> 2010/12/21 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>
>>>
>>> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
>>>> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>>>>
>>>> 2010/12/22 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>>>
>>>>
>>>>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>>>>> A
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>>>
>>>>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>>>>
>>>>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>>>>
>>>>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>>>
>>>>>>  Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>>>>> A
>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>  _______________________________________________
>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Eren Mehmet Kıral
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Eren Mehmet Kıral
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> B.
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101222/6e489c3f/attachment.htm>