[MD-sorular] sonlu cisimler

[Ali Nesin]

Eleman sayisi p^2 olan cisme F diyelim.
Eleman sayisi p olan cisme K diyelim.
K < F olur.
Eger x^2 + 1 denkleminin K'da cozumu varsa, sorun yok, cunku bu cozum 
F'dedir ayni zamanda.
Eger bu denklemin K'da cozumu yoksa, X^2 +1 polinomu K uzerine 
indirgenemezdir.
Demek ki L = K[X]/<X^2+1> bir cisimdir. Eleman sayisi da p^2 dir.
Ama p^2 elemanli tum cisimler birbirlerine izomorfturlar. Dolayisiyla K 
ile L izomorftur.
Ama X^2 + 1 denkleminin L'de cozumu vardir.
Dolayisiyla bu denklemin K'da da cozumu vardir.
Bu bir kanit.

Bir baska kanit:
p = char(K) = char(F) = 2 ise, 1, x^2 + 1 = 0 denkleminin bir cozumudur. 
Bundan boyle p, 2 olmasin.
K*'daki p-1 elemanin (p-1)/2 tanesi bir karedir, yani K*^2'dedir. Yani 
tam yarisi.
Eger F'de karesi K^2'de olmayan bir eleman bulursak, yani K^2 < F*^2 
kesisim K* ise o zaman F*^2 kesisim K*  = K* olur ve K'daki elemanlarin 
hepsi F'deki bir elemanin karesi olurlar. Dolayisiyla -1 de bir kare 
olur ve problem cozulur.
F'de olup da K'da olmayan herhangi bir eleman alalim, diyelim a. Bu 
eleman F uzerine ikinci dereceden bir denklem saglar. Bu denklemin 
diskriminantina d diyelim. d, K'dadir. d'nin F'de bir karekoku vardir 
ama K'da yoktur (olsaydi a, K'da olurdu). Demek ki d, F*'da bir karedir 
ama K*'da bir kare degildir.

A

Beyza memir wrote:
> Merhaba eleman sayısı p^2 olan bir cisimde x^2+1 denkleminin 
> çözülebilir olduğunu nasıl gösteririz?
>
> Beyza Memir