[MD-sorular] Yan: Yan: taylor serisi

tibet efendi tibetefendi at yahoo.com
9 Şub 2010 Sal 15:51:36 EET


"Kalan terim" lafi genelde kuvvet serisinin yakinsadigi fonksiyonun, serinin n'inci terimine kadar olan parcasina uzakligini tarif etmek icin kullanilir.
(power series'in türkcesi kuvvet serisiymis, arada ögrendim geldim)

Yani (Sn) bizim kuvvet serimiz olsun, n sonsuza giderken bu toplam S'e yaklasiyor olsun. Bu durumda "Rm kalan terimi" denerek genelde |S-Sm| kastedilir.

Ama sizin yazdiginiz alintida |f-Sm| kastediliyor.
Ona bir daha dikkat cekeyim dedim. O cümlenin anlasilmasi icin cok önemli cünkü. Rm'le ilk dedigim kastedilseydi o cümle yanlis olurdu.

tibet



--- 09/02/10 Sal tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> şöyle yazıyor:

Kimden: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
Konu: [MD-sorular] Yan:  taylor serisi
Kime: "tÿfffffcrker isenlik" <isenlik at yahoo.com>, "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Tarihi: 9 Şubat 2010 Salı, 14:35

<bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan
 teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler 
olmadıklarını gösterir> bu yargıya yukarıdaki ifadeden,verlien örnek 
fonksiyondan nasıl ulaşılabilir?


 f(x)=e^(-1/x^2) fonksiyonunun sifir noktasinda Taylor serisini olusturdugumuzda bütün türevleri 0 oldugu icin bildigimiz sifir fonksiyonu cikiyor Taylor serisi olarak. 

Tabi f(0)=0 olarak tanimladigimizi belirtmek gerek.

Taylor serileri (ya da genel olarak power series (türkcesini bilmiyorum) bildiginiz gibi her yerde yakinsamak zorunda degildir. Bunlarin bir yakinsama daireleri vardir. O dairenin icinde yakinsarlar. O dairenin disinda yakinsamazlar. Cemberin tam üzerinde ne olduguna iliskin genel bir kural da yoktur. Cemberin üzerindeki bazi noktalarda yakinsayip bazilarinda yakinsamiyor olabilirler. Bunlar Analiz 1 dersinde kanitlaniyor ayrintisiyla.

Bahsettiginiz örnekte taylor serisi sifir fonksiyonu oldugundan, her yerde yakinsiyor. Yakinsama dairesinin yaricapi sonsuz yani.
Ama fonksiyona yakinsamiyor. "Rn kalan
 terimi" derken orada kastettigi sey: |Sn(x)-f(x)| olsa gerek. f bizim fonksioynumuz, Sn ise serinin n'inci terime kadar olan parcasi.
Rn'in sifira gitmesi, Taylor serisinin fonksiyona yakinsamasi demek. (ayni sey)

Ama yakinsamiyor iste. Cünkü 0'in hic bir komsulugunda sifir fonksiyonuyla f ayni fonksiyon degiller.

0 noktasinda Laurent acilimi var evet. Ve Laurent acilimiyla ifade edilebilir. Bunun ne oldugunu anlamak icin kompleks analiz bilmeniz gerekiyor.

f fonksiyonunu sifir noktasinda tanimli degil. O boslugu f(0)=0 diyerek sürekli bir sekilde doldurabiliyoruz ama kompleks'te olmuyor. Yani f'in kompleks sayilardaki kardesi olan fonksiyon (ayni sekilde yazilan ama tanim kümesi kompleks sayilar olan fonksiyon) sifir noktasinin cevresinde sonsuz "yükeklikte" ve sonsuz "siklikta" zingirdiyor. Bu son yazdigim cümle o noktanin "esasli tekil nokta" oldugunun tarifi. Sifirin ne kadar
 kücük bir K komsulugunu alirsaniz alin. f(K) kümesi belli bir nokta haric bütün kompleks sayilar! Inanilmaz bir özellik. 
Reeldeki 1/sin(1/X) fonksiyonuna benzetebilirsiniz.

Yani dediginiz f fonksiyonu reel sayilar üzerinde cizince her ne kadar uysal, güzel bir fonksiyona benzese de kompleks sayilarda tanimlandiginda cok manyak, sapik bir fonksiyon. Sifirin cevresinde kuduruyor. Sorun da oradan kaynaklaniyor zaten bir sekilde.

Neyse asil sey diyecektim. Reel sayilar üzerinde tanimlanmis f'e geri dönelim. f fonksiyonunu aynen alip yalniz x<0 icin fonksiyon degerlerini sifir olarak tanimlarsaniz, (yani pozitif tarafta f aynen kaliyor ama negatif tarafta hep sifir degerini aliyor.) o zaman sifir noktasindaki Laurent serisi bile fonksiyona sifirin hic bir komsulugunda yakinsamiyor. Yani yakinsama dairesinin yaricapi
 sifir.

Bu tür tatsizliklar kompleks analizde olmuyor. Elinizde bir kere türevlenebilen kompleks bir fonksiyon varsa, bu zaten kafadan sonsuz kere türevlenebiliyor. Buna ek olarak bir de Taylor serisi (yeterince kücük bir daire icinde).fonksiyonla örtüsüyor. "Yeterince kücük" dedim ama aslinda "olabildigince büyük" de denebilirdi. Yakinsama dairesi, fonksiyonun türevlenebilir oldugu alanin sinirlarina kadar dayaniyor.

Yalniz ben bu Taylor serisinin neden calistigini hala anlamis degilim. Sadece bir noktada türev alarak fonksiyonun taa uzaklarda aldigi degeri hesaplayabiliyoruz. Nasil oluyor da oluyor? Polinomlarda bile anlayamiyorum görsel olarak neden böyle bir sonuc ciktigini. Cok acaip bir sey.

tibet




--- 09/02/10 Sal tarihinde tÿfffffcrker isenlik <isenlik at yahoo.com> şöyle yazıyor:

Kimden: tÿfffffcrker isenlik <isenlik at yahoo.com>
Konu: [MD-sorular] taylor serisi
Kime: md-sorular at matematikdunyasi.org
Tarihi: 9 Şubat 2010 Salı, 1:37

merhaba,
"reel düşünülen her x değeri için f(x)=e^(-1/x^2) ile tanımlanan fonksiyon her noktada süreklidir ve her mertebeden sürekli türevlere sahiptir. bu nedenle, bu fonksiyonun her noktada Taylor serisine açılımını düşünmek ve bu seriler bakımından noktaların birbirinin aynı davranışlar göstermesini beklemek, ilk bakışta çok doğaldır. Oysa kolayca gerçeklenebileceği gibi, x=0 noktasında fonksiyon ve bütün türevleri 0 dır. Bu, sözü edlien nokta civarında f(x)=0 olduğu izlenimini verir ve gerçekle çelişir(i)
(i) Cauchy tarafından verilen bu
 örnek, bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını gösterir."
devamında ise, x= 0 noktasının
 fonksiyonun esaslı bir tekil noktası oldugu ve dolayısıyla o nokta etrafında Laurent açılımının söz konusu olduğundan bahsediliyor.
Alıntı yaptığım kısım Mithat İdemen'in Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi kitabına ait.sormak istediğim kısım ise şu;
<bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını gösterir> bu yargıya yukarıdaki ifadeden,verlien örnek fonksiyondan nasıl ulaşılabilir?




      
-----Satır İçi Eki Var-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular





      Yahoo! Türkiye açıldı!

Haber, Ekonomi, Videolar, Oyunlar hepsi Yahoo! Türkiye'de!
www.yahoo.com.tr
-----Satır İçi Eki Var-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      ___________________________________________________________________
Yahoo! Türkiye açıldı!  http://yahoo.com.tr
İnternet üzerindeki en iyi içeriği Yahoo! Türkiye sizlere sunuyor!
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100209/d5ac5677/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi