[MD-sorular] Taylor Serisi

[tibet efendi]

O noktada tanimsiz oldugu icin dediginiz gibi süreklilikte sorun yok. Ama delik var iste. 

Taylor acilimini yaparken sifirinci katsayiyi bulmak icin fonksiyonun o noktadaki degerini bilmeniz gerekir. Tanimli olmayan noktadan Taylor serisi acamazsiniz. O yüzden o noktayi sürekli olacak sekilde 0'la dolduruyoruz.

Buna karsit olarak holomorf fonksiyonlarda Laurent serisi gelistirmek icin fonksiyonun o noktada tanimli olmasi gerekmez. Laurent serisinin bir güzelligi. Ya da özelligi. Ya da özeligi. Yani spesyalitesi. :)

Bence speciality anlamina gerek 'özellik'e nasil spesyalite diyorsak,
property anlamina gelene de "puroperti" diyebiliriz. :)

tibet


--- 09/02/10 Sal tarihinde Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> şöyle yazıyor:

Kimden: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Konu: Re: [MD-sorular] Taylor Serisi
Kime: "Ayhan Dil" <adil at akdeniz.edu.tr>
Kopya: md-sorular at matematikdunyasi.org
Tarihi: 9 Şubat 2010 Salı, 22:57

Ilgili sayi su an yanimda yok ama, yanlis hatirlamiyorsam MD'de sureklilik tanimi boyle degildi. Yani o tanima gore fonksiyonu 0'da tanimlamadigimizda da f(x)'e her yerde surekli diyebiliyoruz. x=0 noktasinda surekli degil tabii de, x=0 zaten tanim kumesinde yok.


Kerem


2010/2/9 Ayhan Dil <adil at akdeniz.edu.tr>

 
 
 
Merhaba,
 
Fonksiyonun tanımında bir problem var aslında. 
f(x)=e^(-1/x^2) fonksiyonu x=0 noktasında 
tanımlı olmadığı için sürekliliği de söz konusu değildir. 
Bu fonksiyonu şu şekilde parçalı tanımlayalım:
 
f(x)=0,                  x=0 olduğunda 
ve
 f(x)=e^(-1/x^2),     x sıfırdan farklı olduğunda 
 
Böyle tanımlanan f(x) fonksiyonu x=0 noktasında da sürekli olur.
 
Bu durumda f(x) in x=0 noktasında ki bütün türevleri 0 olur. Yani Taylor serisindeki
bütün terimleri sıfır olur.
x=0 noktasının bir komşuluğundaki bütün noktalarda geçerli olan Taylor serisi fonksiyonun
sıfır fonksiyonu izlenimini doğuruyor. Oysa x=0 noktasının haricinde fonksiyon sıfırdan farklıdır.
Devamı kitapta yapılan açıklama gibi.
 
Ayhan Dil

---------- Yönlendirilmiş ileti ----------
From: "tÿfffffcrker isenlik" <isenlik at yahoo.com>


To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Mon, 8 Feb 2010 16:37:20 -0800 (PST)
Subject: [MD-sorular] taylor serisi




merhaba, 


"reel düşünülen her x değeri için f(x)=e^(-1/x^2) ile tanımlanan fonksiyon her noktada süreklidir ve her mertebeden sürekli türevlere sahiptir. bu nedenle, bu fonksiyonun her noktada Taylor serisine açılımını düşünmek ve bu seriler bakımından noktaların birbirinin aynı davranışlar göstermesini beklemek, ilk bakışta çok doğaldır. Oysa kolayca gerçeklenebileceği gibi, x=0 noktasında fonksiyon ve bütün türevleri 0 dır. Bu, sözü edlien nokta civarında f(x)=0 olduğu izlenimini verir ve gerçekle çelişir(i)




(i) Cauchy tarafından verilen bu örnek, bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını gösterir."


devamında ise, x= 0 noktasının fonksiyonun esaslı bir tekil noktası oldugu ve dolayısıyla o nokta etrafında Laurent açılımının söz konusu olduğundan bahsediliyor.


Alıntı yaptığım kısım Mithat İdemen'in Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi kitabına ait.sormak istediğim kısım ise şu;


<bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını gösterir> bu yargıya yukarıdaki ifadeden,verlien örnek fonksiyondan nasıl ulaşılabilir?








_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



-----Satır İçi Eki Var-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      ___________________________________________________________________
Yahoo! Türkiye açıldı!  http://yahoo.com.tr
İnternet üzerindeki en iyi içeriği Yahoo! Türkiye sizlere sunuyor!
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100209/4f2ad381/attachment-0001.htm>