[MD-sorular] | x - sin x | < epsilon için yanıt

[MEHMET ERŞEN ÜLKÜDAŞ]

Sayın Erdem Erdemgil
.
önce ilgili iletinizi özetliyorum 

MD ortamını aşırı yüklememek 

için
.
From: erdem.erdemgil at yahoo.com
CC: md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Sat, 13 Feb 2010 09:22:57 -0800
Subject: [MD-sorular] Kısmi Yanıt 1 : RE: | x - sin x | < epsilon
Seriyi kısaltınca oluşacak yüksek dereceden 
Cebirsel denklemi 
Sayısal olarak nasıl çözeceğim?
Hele epsilonu e gibi bir alfabe harfi ile
parametre olarak yazar isek, enterval sınırları
F(e) gibi e nin bir fonksiyonu olarak 
nasıl belirnecek?
Matematik öğrenmekte ilerledikçe
aklıma daha çok soru geliyor.
Yardımlarınız için tüm MD üyelerine
şimdiden çok teşekkürler. 
.
YANIT:
| x - sin x | = x - sin x ,  nitekim x > sin x
| x - sin x | < epsilon eşitsizliğini 
x - sin x = epsilon eşitliğine çevirerek
x için bir üst sınır M arayalım, epsilon'a bağlı olarak.
Kolaylık olması için üst sınır M yerine x  epsilon yerine c yazalım.
x - sin x = c denklemimde sin x için seri açılımı yapılarak
x - (x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! ... ) = c
1.adımda x^3/3!  = c denklemi,
2.adımda x^3/3!- ^5/5! = c denklemi,
3.adımda x^3/3!- x^5/5! + x^7/7!  = c denklemi,
ve dahi böyle
kısaltılmış serilerle üçüncü, beşinci, yedinci, ...
dereceden cebirsel denklemler elde edilir.
Bunları ancak sayısal yöntemler ile çözebilirsiniz, 1.adım denklemi hariç. 
MATEMATİKÇİLERİ ASIRLARCA ŞU SORU MEŞGUL ETTİ !
ÜÇÜNÇÜ DERECEDEN YUKARI POLİNOMİAL DENKLEMLERİN KÖKLERİ İÇİN
KAPALI İFADE BULMAK,

yüzyılların mesaisi ve yüzlerce matematikçinin çabaları sonucu

varılan sonuç şu oldu,
ikinci veya üçüncü dereceye indirgenebiler pek az istisna ile
n > 3 için kapalı çözüm yoktur ....
Sözün özü:
"epsilonu e gibi bir alfabe harfi ile
parametre olarak yazar isek, enterval sınırları
F(e) gibi e nin bir fonksiyonu olarak 
nasıl belirnecek?" sorunuzu yanıtladım.

Gelelim sayısal çözüme,
Newton Yöntemini kullanabilisiniz  veya
Sabit Nokta Teoremi'ne / Fixed Point Theorem
dayalı iteratif bir yöntem deneyebilirsiniz.

 

MEHMET ERŞEN ÜLKÜDAŞ, Ph.D.
ODTÜ, EGE Üniv, ODTÜ
önceki öğretim üyesi 

 


 
 		 	   		  
_________________________________________________________________
Windows Live: Arkadaşlarınız size e-posta gönderdiklerinde Flickr, Twitter ve Digg'deki hareketlerinizi görürler.
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:tr-tr:SI_SB_3:092010
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100215/30345ae8/attachment.htm>