[MD-sorular] sabit nokta teoremi

tibet efendi tibetefendi at yahoo.com
15 Şub 2010 Pzt 22:05:09 EET


Anlamasi zordur dedigim Picard-Lindelöf'e uygulanisi. Yoksa sabit nokta teoreminin kendisi degil. Lüzumsuz yere korkutmus olmayayim da...
Zor dedigim de... bana zor gelmisti. Yoksa belki size kolay gelir. 

--- 15/02/10 Pzt tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> şöyle yazıyor:

Kimden: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
Konu: Re: [MD-sorular] sabit nokta teoremi
Kime: "Erdem Erdemgil" <erdem.erdemgil at yahoo.com>, "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Tarihi: 15 Şubat 2010 Pazartesi, 20:57

Banach'in sabit nokta teoreminden bahsediyorsaniz eger. Sunu der o teorem:
Bir Banach uzayinda (örnegin R^n) bir "büzülme" tanimlanmissa onun mutlaka bir sabit noktasi vardir.

Büzülme demek su demek: Deger kümesinde herhangi iki elemani alalim. a ve b diyelim. f'in bunlari gönderdigi noktalar arasindaki uzaklik. Yani |f(a)-f(b)|, a'nin b'ye uzakligindan azsa f'e büzülme denir.

Hep su örnegi verirler:
Yere bir dünya haritasi koydugunuzda. Harita üzerinde öyle bir nokta vardir ki tam o noktanin altindaki (bu sefer dünya üzerinde olan) bir noktanin haritadaki karsiligidir.

Burada dünyayi düz kabul edelim, dünya yüzeyinden harita yüzeyine bir büzülme var cünkü haritadaki her mesafe gercekteki mesafelerden kisa. Dolayisiyla Banach'in kanitladigina göre bir sabit noktasi olmali bu büzülmenin. O da bahsettigimiz
 nokta.

Bu örnek R^2 icindi. R icin ya da R'deki bir kapali bir aralik icin kendiniz cizerek görebilirsiniz. (R'deki kapali araliklar Banach uzayi oluyor cünkü)

Zor bir konu. Oturup bir gün boyunca anlamaya calismaniz gerek. Diferansiyel denklemlerde Picard-Lindelöf yaptiginizi varsayiyiorum. Yukaridaki seyi anlasaniz bile Picard-Lindelöf icinde bu teoremin kullanilisini anlamak cok kolay degil, cünkü oradaki Banach uzayi R^n degil, bir fonksiyon uzayi, daha karisik.

Iteratif yöntem de su: 
Diyelim harita üzerinde yukarida varligini iddia ettigimiz noktayi bulmaya calisiyorsunuz.
Bunun icin dünya üzerinde herhangi bir nokta alin, buna x_0 diyin. Büzülme onu nereye gönderiyor ona bakin ona x_1 diyin. x_1 x_0'in haritadaki yeri yani. Simdi x_1'i yine dünya üzerindeki nokta olarak düsünün. Onun harita üzerindeki yerine x_2 deyin. Böyle böyle giderek
 tanimlanan x_n dizisi sabit noktaya yakinsar.

Bu iki boyutlu örnekti. Tek boyut icin su resme bakarak anlamaya calisin.
http://institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/skripts05/img418.gif
tepedeki iki fonksiyon büzüsme, alttaki ikisi büzüsme degil.
Iterasyon üsttekilerde calisiyor, alttakilerde calismiyor.

Oturup kitaplardan calisilmasi gereken bir konu. Mailde anlatilacak bir sey degil. Ben fikir vermek icin yazdim.

Bu arada iterasyon yöntemi ayni zamanda teoremin kanitidir. Yani o dizinin sabit noktaya yakinsadigi gösterilir kanitta.

Sabit nokta teoremi deyince Brouwer'in, Schauder'in falan da var. Ama onlar zor. Onlar bunun daha genel halleri. 

tibet


--- 15/02/10 Pzt tarihinde Erdem Erdemgil <erdem.erdemgil at yahoo.com> şöyle yazıyor:

Kimden: Erdem
 Erdemgil <erdem.erdemgil at yahoo.com>
Konu: Re: [MD-sorular] | x - sin x | < epsilon için yanıt
Kime: meulkudas at hotmail.com
Kopya: md-sorular at matematikdunyasi.org
Tarihi: 15 Şubat 2010 Pazartesi, 18:46

 
Sabit Nokta Teoremi nedir ? *
Bu teoreme dayalı iteratif  yöntem 
nasıl bir yöntemdir ?
 
* Fixed Point Theorem




From: MEHMET ERŞEN ÜLKÜDAŞ <meulkudas at hotmail.com>
To: md-sorular at matematikdunyasi.org; erdem.erdemgil at yahoo.com
Sent: Mon, February 15, 2010 6:47:33 PM
Subject: | x - sin x | < epsilon için yanıt

 

 
Sayın Erdem Erdemgil
.
önce ilgili iletinizi özetliyorum 
MD ortamını aşırı yüklememek 
için
.
From: erdem.erdemgil at yahoo.com
CC: md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Sat, 13 Feb 2010 09:22:57 -0800
Subject: [MD-sorular] Kısmi Yanıt 1 : RE: | x - sin x | < epsilon
Seriyi kısaltınca oluşacak yüksek dereceden 
Cebirsel denklemi 
Sayısal olarak nasıl çözeceğim?
Hele epsilonu e gibi bir alfabe harfi ile
parametre olarak yazar isek, enterval sınırları
F(e) gibi e nin bir fonksiyonu olarak 
nasıl belirnecek?
Matematik öğrenmekte ilerledikçe
aklıma daha çok soru geliyor.
Yardımlarınız için tüm
 MD
 üyelerine
şimdiden çok teşekkürler. 
.
YANIT:
| x - sin x | = x - sin x ,  nitekim x > sin x
| x - sin x | < epsilon eşitsizliğini 
x - sin x = epsilon eşitliğine çevirerek
x için bir üst sınır M arayalım, epsilon'a bağlı olarak.
Kolaylık olması için üst sınır M yerine x  epsilon yerine c yazalım.
x - sin x = c denklemimde sin x için seri açılımı yapılarak
x - (x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! ... ) = c
1.adımda x^3/3!  = c denklemi,
2.adımda x^3/3!- ^5/5! = c denklemi,
3.adımda x^3/3!- x^5/5! + x^7/7!  = c denklemi,
ve dahi böyle
kısaltılmış serilerle üçüncü, beşinci, yedinci, ...
dereceden cebirsel denklemler elde edilir.
Bunları ancak sayısal yöntemler ile çözebilirsiniz, 1.adım denklemi hariç. 
MATEMATİKÇİLERİ ASIRLARCA ŞU SORU MEŞGUL ETTİ !
ÜÇÜNÇÜ DERECEDEN YUKARI POLİNOMİAL DENKLEMLERİN KÖKLERİ
 İÇİN
KAPALI İFADE BULMAK,
yüzyılların mesaisi ve yüzlerce matematikçinin çabaları sonucu
varılan sonuç şu oldu,
ikinci veya üçüncü dereceye indirgenebiler pek az istisna ile
n > 3 için kapalı çözüm yoktur ....
Sözün özü:
"epsilonu e gibi bir alfabe harfi ile
parametre olarak yazar isek, enterval sınırları
F(e) gibi e nin bir fonksiyonu olarak 
nasıl belirnecek?" sorunuzu yanıtladım.
Gelelim sayısal çözüme,
Newton Yöntemini kullanabilisiniz  veya
Sabit Nokta Teoremi'ne / Fixed Point Theorem
dayalı iteratif bir yöntem deneyebilirsiniz.
 
MEHMET ERŞEN ÜLKÜDAŞ, Ph.D.
ODTÜ, EGE Üniv, ODTÜ
önceki öğretim üyesi 
 




      
-----Satır İçi Eki Var-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular





      Yahoo! Türkiye açıldı!

Haber, Ekonomi, Videolar, Oyunlar hepsi Yahoo! Türkiye'de!
www.yahoo.com.tr
-----Satır İçi Eki Var-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      ___________________________________________________________________
Yahoo! Türkiye açıldı!  http://yahoo.com.tr
İnternet üzerindeki en iyi içeriği Yahoo! Türkiye sizlere sunuyor!
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100215/070c319d/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi