[MD-sorular] lineer uzay vs projektif düzlem

[Metin Odun]

Bir yarı-lineer uzayda herhangi iki doğrunun kesişmesi için gerek ve yeter
şart (N_i üzerinden) Toplam [b_i(b_i-1)]= b(b-1) olmasıdır. (Kanıtı için
bkz: Combinatorics of Finite Geometries, sf. 26., L. M. Batten., google
books'ta okuyabilirsiniz.)

Burada N_i uzayın noktaları, b_i, N_i'den geçen doğru sayısı ve b ise uzayın
doğru sayısı. Bir lineer uzay aynı zamanda bir yarı-lineer uzay olduğundan
lineer uzayda da yukarıdaki teorem geçerlidir. Projektif düzlem de bir LU
olduğundan orada da geçerli. Nitekim projektif düzlemin mertebesi k ise,
k+1-nokta ve k+1-doğru regülerlikten (PD'ler doğru ve nokta regülerdir.) ve
b=v= k^2+k+1 olduğundan sol taraf da sağ taraf da (k^2+k).k^2+k+1 oluyor.

Bir lineer uzaya "Herhangi iki doğru kesişir" ve "Hangi üçünü seçersek
seçelim bu üç nokta doğrudaş olmayan üç nokta olabilecek 4 nokta vardır."
şartlarını da ekleyince bir projektif düzlem elde ediyoruz. Peki ya,
projektif düzlemin bu ikinci şartı için eşitlik/eşitsizlik içeren bir çift
gerektirmeli teorem bulabilir miyiz, güzel olan ve muhtemelen başka küçük
teoremlere de yol açabilecek olan?

Yani amacım, bir lineer uzayın *ancak ve ancak ne zaman* bir projektif
düzlem olacağını (olabildiğince) nümerik olarak ifade edebilmek. Bu soru
doğal mı bir de? İkinci sorum bu.

Not: Aslında De Bruijn-Erdös-Hanani teoremi lineer uzayla ilgili olmasına
rağmen ikinci kısmı projektif düzlemlerle ilgili önemli şeyler söylüyor.
Yukarıdaki ana sorumu sordurtan da, bu gözlemim.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100101/a847905f/attachment.htm