[MD-sorular] lineer uzay vs projektif düzlem

[Metin Odun]

Buldum. Şöyle bir teorem var:

Teorem. U lineer uzayının tüm doğruları kesişiyorsa U ya trışkadır ya
yaklaşık-demettir (near pencil) ya da 2<k olmak üzere U, k+1-nokta ve doğru
regüler olup v=b=k^2+k+1'dir.

U trışka olmasın. Teoremdeki ikinci sınıfı saf dışı bırakmak için şöyle bir
nümerik ifade yazarım: Herhangi bir d_j doğrusu için, v_j=v-1 şartı
sağlanmasın. (Yoksa uzayın tüm noktaları iki doğru üzerinde olur, yani bir
yaklaşık-demet olur.) Son sınıf bir PD veriyor her zaman. Onun yerinde,
zaten tüm doğrular kesiştiğinden, dörtgen içermek için de, en az üç noktalı
iki doğru vardır, desem de olur. Tüm doğruların kesişmesi için gerek ve
yeter şartı da vermiştik nümerik olarak. Toparlarsak,

U lineer uzay olsun U bir PD'dir iff U is nontrivial and there does not
exists a line d_j with the property that v_j=v-1 and (N_i üzerinden) Toplam
[b_i(b_i-1)]= b(b-1), where v_j is the number of points on d_j, v is the
total number of points in U, b, the total number of lines, b_i is the number
of lines passing through the point N_i.

veya, U lineer uzay olsun U bir PP'dir iff U is nontrivial, and there exist
two different lines of U having at least three points (so that U has a
quadrangle) and that Toplam [b_i(b_i-1)]= b(b-1), where v_j is the number of
points on d_j, v is the total number of points in U, b, the total number of
lines, b_i is the number of lines passing through the point N_i (so that any
pair lines of U have a common point).

Metin

01 Ocak 2010 23:53 tarihinde Metin Odun <metamaths at gmail.com> yazdı:

> Bir yarı-lineer uzayda herhangi iki doğrunun kesişmesi için gerek ve yeter
> şart (N_i üzerinden) Toplam [b_i(b_i-1)]= b(b-1) olmasıdır. (Kanıtı için
> bkz: Combinatorics of Finite Geometries, sf. 26., L. M. Batten., google
> books'ta okuyabilirsiniz.)
>
> Burada N_i uzayın noktaları, b_i, N_i'den geçen doğru sayısı ve b ise
> uzayın doğru sayısı. Bir lineer uzay aynı zamanda bir yarı-lineer uzay
> olduğundan lineer uzayda da yukarıdaki teorem geçerlidir. Projektif düzlem
> de bir LU olduğundan orada da geçerli. Nitekim projektif düzlemin mertebesi
> k ise, k+1-nokta ve k+1-doğru regülerlikten (PD'ler doğru ve nokta
> regülerdir.) ve b=v= k^2+k+1 olduğundan sol taraf da sağ taraf da
> (k^2+k).k^2+k+1 oluyor.
>
> Bir lineer uzaya "Herhangi iki doğru kesişir" ve "Hangi üçünü seçersek
> seçelim bu üç nokta doğrudaş olmayan üç nokta olabilecek 4 nokta vardır."
> şartlarını da ekleyince bir projektif düzlem elde ediyoruz. Peki ya,
> projektif düzlemin bu ikinci şartı için eşitlik/eşitsizlik içeren bir çift
> gerektirmeli teorem bulabilir miyiz, güzel olan ve muhtemelen başka küçük
> teoremlere de yol açabilecek olan?
>
> Yani amacım, bir lineer uzayın *ancak ve ancak ne zaman* bir projektif
> düzlem olacağını (olabildiğince) nümerik olarak ifade edebilmek. Bu soru
> doğal mı bir de? İkinci sorum bu.
>
> Not: Aslında De Bruijn-Erdös-Hanani teoremi lineer uzayla ilgili olmasına
> rağmen ikinci kısmı projektif düzlemlerle ilgili önemli şeyler söylüyor.
> Yukarıdaki ana sorumu sordurtan da, bu gözlemim.
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100102/dc15e801/attachment.htm