[MD-sorular] mobius

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
11 Oca 2010 Pzt 02:20:28 EET


Euler phi fonksiyonu, g olarak alinirsa ilk istediginiz esitlik saglaniyor;
nitekim herhangi bir d | n icin, n/d'den kucuk ve n/d ile aralarinda asal
tum sayilari d ile carparsak, n'den kucuk, ve n ile obeb'i d olan tum
sayilari bulmus oluruz. Bu da Toplam_{k=1}^n f((n,k)) toplaminda f(d)'nin
gorunme sayisidir.

Demek ki hakikaten Toplam_{k=1}^n f((k,n)) = f *g (n) = Toplam_{d | n} f(d)
phi(n/d)

Istediginiz ikinci formule gelince,

Yukaridakini kullanarak Toplam_{k=1}^n (k,n)M((k,n)) = Toplam_{d | n} d M(d)
phi(n/d) esitligini elde ediyoruz. Yani nM(n) carpimsal fonksiyonu ile, phi
carpimsal fonksiyonunun dirichlet carpimini. Her iki fonksiyon da carpimsal,
dolayisiyla dirichlet carpimlari da carpimsal. Dolayisiyla toplami sadece
asal sayilarin kuvvetleri icin bulmamiz yeterli.

p^i icin mesela.
 Oncelikle i>=2 olsun.
Toplam_{d | p^i} d M(d) phi(n/d) = Toplam_{ j =0}^i p^j M(p^j) phi(p^(i -
j)) = phi(p^i) - p phi(p^{i-1}) = p^{i-1} (p-1) - p p^{i-2} (p-1) = 0
i = 0 iken toplam 1
i =1 iken toplam = phi(p) - p phi(1) = p - 1 - p = -1.

Tam da mobius fonksiyonu. Demek ki istediginiz esitlik dogru, Yani Toplam_{d
| n} d M(d) phi(n/d) = M(n)

Iyi gunler,
Iyi calismalar.

2010/1/10 RAhmi uçbil <honolululurahmi at gmail.com>

> Merhaba,
>
> Aşağıdaki soruyu matematik bölümünde okuyan yiğenim(kendini ramanujan
> zannediyor herhalde :D) sordu beraber tartıştık ama çözemedik...
>
> Prove that there is a multiplicative arithmetical function g such that
>
> Toplam k=1 den n ye f((n,k))= (f dirichlet çarpım
> g)(n)                                         (n,k):  n ve k nın obebi.
>
> ve use this identity to prove that,
>
> toplam k=1 den n ye (k,n).M(k,n)= M(n)                  M : mobius
> fonksiyonu
>
> Saygılar.
> Rahmı
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100110/ec22e650/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi