[MD-sorular] grupta mertebe sorusu

[Metin Odun]

Tamam hallettim. Onu da düşünmüştüm ama oradan sonra tıkanmıştım. Siz de
vurgulayınca tekrar düşündüm ve sorunun gerisini getirdim.

Şimdi bir kere sorudan m ve n'nin birer tamsayı olduğu anlaşılıyor çünkü, y
ve z'nin mertebeleri m ve n olur, demiş. Yoksa (tamsayı olmayan)
rasyonellerde de HCF tanımlanabiliyor mathworld.wolfram'a göre. Yani soruyu
soran, m ve n'yi tam sayı olarak düşünün, demiş. Yoksa m veya n'den biri
bile, misal m, (tamsayı olmayan) rasyonel olabilseydi, soru hatalı olurdu bu
haliyle, çünkü o zaman o(y)=m tamsayı olmazdı ki bu mertebe tanımıyla
çelişirdi. Özetle m ve n tamsayı.

v, m'nin bir katı olsa, yani *(v,m), 1'den farklı olsa* m(u+kn)=1, yani 1 de
m'nin birkatı olur, demiştik.
Şimdi bir kere o(x)=mn olduğundan m sıfır olamaz yoksa x'in mertebesi sıfır
olur ki mertebe, tanım gereği pozitif tamsayıdır.
*m>1 olamaz* çünkü 1'den büyük bir sayıyla bir tamsayıyı (u+kn) çarparak
asla 1 elde edemeyiz.
m=1 olsa (v, m)=1 olur çünkü her sayı 1 ile aralarında asaldır. Hâlbuki
(v,m)=1 demiştik. Demek ki *m=1 de olamaz*.
m=-1 olsa yine -1 her sayıyla aralarında asaldır, yani (v,m)=1 olur hâlbuki
(v,m)=1 demiştik. Demek ki *m=-1olamaz*.
*m<1 de olamaz* çünkü 1'den küçük bir sayıyla bir tamsayının çarpımı (u+km)
asla ve asla 1 edemez.

Demek ki (v,m)=1 olmalı. Bu da demektir ki v'nin içerinde m çarpanı yok.
Kaldı ki o(x)=mn olduğunu yani x'im bir gücünün 1 yapabilmesi içim o gücün
en az mn olduğunu biliyoruz. O zaman y=x^(vn), 1 etmiyor. Bunun hangi gücü 1
eder diye düşünürsek, misal, A. gücü 1 etse, yani x^((vn)A)=1 olsa A'nın
içinde mutlaka m olmalı, çünkü bir grupta o(x)=h ise, x^m=1 iff h|m. O zaman
A'yı en az m alırız. Demek ki o(y)=m.

o(z)=n olduğu da simetirk yorumla görülür, aynısı.

Höh! Bir kitap alıyoruz cebire başlayalım diye daha ilk alıştırmalarda
takılıyoruz. İki tane alıştırma için 2 gün ya, yazıktır. Matematikten
soğutacaklar insanı!

Metin

19 Temmuz 2010 23:08 tarihinde Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> yazdı:

> v, m'nin bir kati olsa, 1 de m'nin bir kati olurdu!
> A
>
> Metin Odun wrote:
>
>>  Bir grupta çalışıyoruz.
>>
>> o(x)=mn, (m,n)=1 ise öyle y, z elemanları vardır ki x=yz biçiminde ifade
>> edilebilir ve yz=zy olup o(y)=m ve o(z)=n'dir.
>>
>> Biraz uğraşıp çözümüne baktım ama çözümde o(y)=m olmasını anlayamadım,
>> çözümü bile anlayamadıysam çözümğ nasıl bulacaktım...
>>
>> Diyor ki, (m,n)=1 olduğundan um+vn=1 o.ş u, v tamsayıları vardır. Bu
>> tamam.
>>
>> y=x^(vn), z=x^(um) al, diyor. İyi de o(y)=m olduğunu göremedim. v'nin
>> m'nin bir katı olmadığı ne malum?
>>
>> Öyle olsaydı um+mkn=1 olurdu. Buradan m(u+kn)=1 olurdu. Sonrasını
>> göremedim.
>>
>>
>> ------------------------------------------------------------------------
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100720/b67de34b/attachment.htm>