[MD-sorular] grupta mertebe sorusu-duzeltme

Metin Odun metamaths at gmail.com
20 Tem 2010 Sal 20:55:55 EEST


Ufak bir düzeltme yapmalıyım. v'nin, m'nin katı olması, (v,m)'nin 1'den
farklı olmasını gerektirmez.
*
*
m>1 olamayacağı açık, m<1 de olamayacağı da.
*m=1 veya m=-1 hallerinde de (v,m)=1 olur.*
*
*
*
*
20 Temmuz 2010 15:41 tarihinde Metin Odun <metamaths at gmail.com> yazdı:

> Tamam hallettim. Onu da düşünmüştüm ama oradan sonra tıkanmıştım. Siz de
> vurgulayınca tekrar düşündüm ve sorunun gerisini getirdim.
>
> Şimdi bir kere sorudan m ve n'nin birer tamsayı olduğu anlaşılıyor çünkü, y
> ve z'nin mertebeleri m ve n olur, demiş. Yoksa (tamsayı olmayan)
> rasyonellerde de HCF tanımlanabiliyor mathworld.wolfram'a göre. Yani soruyu
> soran, m ve n'yi tam sayı olarak düşünün, demiş. Yoksa m veya n'den biri
> bile, misal m, (tamsayı olmayan) rasyonel olabilseydi, soru hatalı olurdu bu
> haliyle, çünkü o zaman o(y)=m tamsayı olmazdı ki bu mertebe tanımıyla
> çelişirdi. Özetle m ve n tamsayı.
>
> v, m'nin bir katı olsa, yani *(v,m), 1'den farklı olsa* m(u+kn)=1, yani 1
> de m'nin birkatı olur, demiştik.
> Şimdi bir kere o(x)=mn olduğundan m sıfır olamaz yoksa x'in mertebesi sıfır
> olur ki mertebe, tanım gereği pozitif tamsayıdır.
> *m>1 olamaz* çünkü 1'den büyük bir sayıyla bir tamsayıyı (u+kn) çarparak
> asla 1 elde edemeyiz.
> m=1 olsa (v, m)=1 olur çünkü her sayı 1 ile aralarında asaldır. Hâlbuki
> (v,m)=1 demiştik. Demek ki *m=1 de olamaz*.
> m=-1 olsa yine -1 her sayıyla aralarında asaldır, yani (v,m)=1 olur hâlbuki
> (v,m)=1 demiştik. Demek ki *m=-1olamaz*.
> *m<1 de olamaz* çünkü 1'den küçük bir sayıyla bir tamsayının çarpımı
> (u+km) asla ve asla 1 edemez.
>
> Demek ki (v,m)=1 olmalı. Bu da demektir ki v'nin içerinde m çarpanı yok.
> Kaldı ki o(x)=mn olduğunu yani x'im bir gücünün 1 yapabilmesi içim o gücün
> en az mn olduğunu biliyoruz. O zaman y=x^(vn), 1 etmiyor. Bunun hangi gücü 1
> eder diye düşünürsek, misal, A. gücü 1 etse, yani x^((vn)A)=1 olsa A'nın
> içinde mutlaka m olmalı, çünkü bir grupta o(x)=h ise, x^m=1 iff h|m. O zaman
> A'yı en az m alırız. Demek ki o(y)=m.
>
> o(z)=n olduğu da simetirk yorumla görülür, aynısı.
>
> Höh! Bir kitap alıyoruz cebire başlayalım diye daha ilk alıştırmalarda
> takılıyoruz. İki tane alıştırma için 2 gün ya, yazıktır. Matematikten
> soğutacaklar insanı!
>
> Metin
>
> 19 Temmuz 2010 23:08 tarihinde Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> yazdı:
>
> v, m'nin bir kati olsa, 1 de m'nin bir kati olurdu!
>> A
>>
>> Metin Odun wrote:
>>
>>>  Bir grupta çalışıyoruz.
>>>
>>> o(x)=mn, (m,n)=1 ise öyle y, z elemanları vardır ki x=yz biçiminde ifade
>>> edilebilir ve yz=zy olup o(y)=m ve o(z)=n'dir.
>>>
>>> Biraz uğraşıp çözümüne baktım ama çözümde o(y)=m olmasını anlayamadım,
>>> çözümü bile anlayamadıysam çözümğ nasıl bulacaktım...
>>>
>>> Diyor ki, (m,n)=1 olduğundan um+vn=1 o.ş u, v tamsayıları vardır. Bu
>>> tamam.
>>>
>>> y=x^(vn), z=x^(um) al, diyor. İyi de o(y)=m olduğunu göremedim. v'nin
>>> m'nin bir katı olmadığı ne malum?
>>>
>>> Öyle olsaydı um+mkn=1 olurdu. Buradan m(u+kn)=1 olurdu. Sonrasını
>>> göremedim.
>>>
>>>
>>> ------------------------------------------------------------------------
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100720/f42071f3/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi