[MD-sorular] Çok kolay da ben mi yapamıyorum: Topoloji sorusu!

[berat okutan]

A kümesi, X'in metriğiyle,  bir metrik uzaydır. Bizim istediğimiz A bağlantısızsa, kesişimi boş küme olan ve bağlantısızlık şartlarını sağlayan iki açık küme bulmak. U ve V temel tanımdaki açık kümeler olsun.

M = A kesişim U, N = A kesişim V olsun. M ve N kümeleri A'da açıktır, ayrıktır ve birleşimleri A'yı verir.

Her x elemandır M ve y elemandır N için, d_x=uzaklık(x,N), d_y=uzaklık(y,M) olsun.

Bir metrik uzayda iki ayrık açık küme varsa, birinin herhangi bir elemanına diğerinin elemanlarıyla yaklaşılamaz. Bu yüzden d_x,d_y>0 olur, her x,y için. 

r_x=d_x / 4, r_y =d_y / 4 olsun. B_x , B_y sırayla  X'deki x merkezli r_x yarıçaplı ve y merkezli r_y yarıçaplı toplar olsun.

Her x,y için, B_x kesişim B_y = boşküme'dir, çünkü: r_x + r_y = d_x / 4 + d_y /4 <= d(x,y)/2.

M' tüm B_x'lerin, N' tüm B_y'lerin birleşimi olsun. M', N' açıktır, kesişimleri boşkümedir, birleşimleri A'yı kapsar. M' M'yi, N' N'yi kapsar.

Date: Mon, 7 Jun 2010 22:41:27 +0300
From: zati.lokum at gmail.com
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Çok kolay da ben mi yapamıyorum: Topoloji sorusu!

Herkese merhaba.
 
                                 Topoloji dersi almış veya o dersin biraz kıyısından geçmiş her öğrencinin karşılaştığı, zor olduğunu tahmin etmediğim fakat günlerdir de bir türlü çözemediğim bir sorum olacak sizlere. Soruyu sormadan önce şunu söylemeliyim; Bir X topolojik uzayının A altkümesinin bağlantısız( disconnected) olması için X de öyle iki açık U ve V kümeleri buluruz ki A bu açıkların birleşimlerinin altında kalır, A, U ve V nin kesişimleri boş küme olur ve son olarak ta A ayrı ayrı U ve V ile kesiştiğinde boşkümeden farklı olur, yani A kesişim U ve A kesişim V boş küme değillerdir. Buraya kadar güzel, bir altuzayın bağlantısız olması için nelere bakmamız gerektiğini biliyoruz.

 
                                  Şimdi sayın arkadaşlarım X bir metrik uzay ise A,U  ve V nin aynı anda kesişimlerinin boşküme olmasına gerek yok, sadece U ve V nin kesişimi boşküme olursa da olur demiş soru. Bunu gösteremiyorum, burda bir fikir var ama ben yakalayamadım. Yardımcı olursanız çok mutlu olacam. Şimdiden teşekkürler.

 
z.lokum  		 	   		  
_________________________________________________________________
Hotmail: Trusted email with powerful SPAM protection.
https://signup.live.com/signup.aspx?id=60969
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100608/d55a9d81/attachment.htm>