[MD-sorular] Eliptik Eğri

[E. Mehmet Kıral]

Merhabalar,

Verdiğiniz ikinci denklem bir eliptik eğri belirlemiyor. Sağ taraftaki x'in
polinomunun diskriminantını alırsanız 0 çıkıyor.

Elinizdeki denklemle bir şekilde oynayınca eliptik eğri çıkması, başka bir
şekilde oynayınca çıkmamasının ardındaki sebebi anlamıyorum. Ancak dediğiniz
mümkün tabii farklı eğriler elde edebilirsiniz ve bu iki eğrinin tüm
aritmetik özellikleri eş olabilir. Yani iki eliptik eğri arasında bir
izomorfi bulunabilir.

"Bir problem için eliptik eğri elde etme" net tanımı olmayan bir prosedür
olduğundan aynı problem için iki eliptik eğri edinilip edinilemeyeceğini
söyleyemem. Yalnız izomorfik eliptik eğrilerin varlığından, soru ne olursa
olsun yanıtın olumlu olduğunu düşünüyorum. Aritmetik bir soru bize bir
şekilde iki izomorfik eliptik eğri verirse eliptik eğri üzerindeki kesirli
noktalardan edindiğimiz bilgi soruyu aynı şekilde çözmemizi sağlar.

Fermat'nın son Teoreminde Wiles tüm "semistable" eliptik eğrilerin modüler
olduğunu kanıtlamıştır. Daha sonra başkaları "semistable" teknik koşulunu
ortadan kaldırmış ve sonuç tüm eliptik eğriler için biliniyor. Dolayısıyla
Fermat denkleminden başka bir eliptik eğri elde edilse dahi, o da modüler
olur.

Öte yandan Fermat'nın son teoreminin kanıtı bildiğim kadarıyla "Bu
denklemden elde edilen tüm eliptik eğriler modüler değildir" gibi (her ne
demekse) bir yargı içermemektedir. Çok spesifik bir eliptik eğrinin eğer
fermat denkleminin çözümü varsa modüler olmaması gerektiğini kanıtlamıştır.
Denklemden çıkabilecek diğer eliptik eğrilerle ilgilenmemektedir kanıt.


2010/5/13 dede <dede_47 at mynet.com>

>  Sayın Üyeler;
>
> Okuduğum bir makalenin yazarı; a^2+b^2=c^2, (1) ve ab=2n, (2)
>
> denklemlerinin oranlı sayı değerlerini bulmak için  aşağıdaki yolla
>
> bir eliptik eğri denklemi buluyor: (a,b,c,n sıfırdan farklıdır)
>
> c=a+t, (3) yukarıda ki  (1) de koyarak, b^2=2at+t^2 ,(4)
>
> buluyor.(4) de ise (2) den a=2n/b koymak ve x=nb/t ;y=2n^2/t
>
> diyerek*,  y^2=x^3-n^2 x*, (5) eliptik eğri denklemini buluyor.
>
> (Ara işlemlerde n^3 ile çarpıp, t sıfır olamayacağından, t^3 ile
> bölmektedir.)
>
> Benzer yöntemle ben de  bu problem için aşağıda ki eliptik
>
> eğriyi elde ettim:(4) de bu kere (2) den, b=2n/a  koyarak, 4n^2/a^2=2at+t
>
>
> buradan, 4n^2=2a^3t+a^2t^2, (6) bulunur.(6) in iki tarafını t^4 ile bölüp;
>
> y=2n/t^2 ve x=a/t dersek; *y^2=2x^3+x^2,* (7) böylece belli bir problem
>
> için (5) ve (7) ile verilen 2 ayrı eliptik eğri denklemi elde edilmiş oldu.
>
> ((5) teki, n' ye bağlı; benim bulduğum değil) Bu eğrilerin birbirinin
>
> aynı olmadığı; dolayısıyla özelliklerinin de farklı olacağı açıktır.Ben,
> bir
>
> problem için sadece bir eliptik eğri bulunabileceğini biliyorum.
>
> Burada ise iki tane eliptik eğri bulunuyor. Şunları merak ettim:
>
> 1)      Makale yazarı; yukarıdaki (1) ve (2) eşitliklerinin oranlı sayı
> çözümlerini verdiği
>
>       (5) deki eğri ile bulmaktadır.Aynı çözümleri benim bulduğum (7) de
> verir mi?
>
> 2)      Belli bir problem için birden fazla eliptik eğri denklemi
> bulunabiliyor mu?
>
> Bulunabiliyorsa, Fermat problemi için Frey'in bulduğu eliptik eğrinin,
> modüler olmadığını kanıtlayarak Fermat problemini Weil çözmüştür.Bu problem
> için, ya Frey'in bulduğundan daha başka bir eliptik eğri varsa ve bu da
> (faraza) modüler ise?
>
> 3)  Çıkarılma bağıntıları kullanılmadan, (5) denklemi (7) ye (veya tersi)
> dönüştürülebilir mi?
>
> Yanıt vereceklere teşekkürlerimle,
>
> Saygılar...
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> ------------------------------
> Aradığınız tüm videolar Mynet Video'da! İzlemek için hemen tıklayın!
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=46375&url=http://video.mynet.com>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100610/1f60e044/attachment.htm>