[MD-sorular] Asal sayılar "paketli" bulmaca

[ozgur baskaya]

Madem asal sayılarla ilgili felsefe yapmaya girildi, bu vesileyle 
ben de asal sayılarla "paketlediğim" bir bulmaca sormak istiyorum. 
Daha doğrusu bu bulmaca 2 tez'den oluşuyor. Dileyen ilgilenir. 
Uğraşan matematik-severlerin büyük bir çoğunluğu sonunda hoşlanacak
tahminimce...
 
Bir özyinelemeli serinin şu iki "değişkeni" olsun: S[1] ve S[2]. 
S[1] serinin ilk elemanı, S[2] serinin 2. elemanıdır.

Seriyi oluşturmamız için kuralımız da şöyle:
Sayma sayı olan n büyük-eşittir 3 için, 
S[n]=S[n-1]+S[n-2]
 
Aynı zamanda, bu serinin n. elemanı hesaplandıktan sonra oluşturulacak 
bir de R1 oranımız var: 
R1=S[n]/S[n-1]

Burada önemli bir nokta var: Bu oran hesaplanırken ondalık hane sayısı 
en az 11 olmalı ve 11. hane kesinlikle yuvarlatılmamalı!
 
EXCEL veya basit bir programla (çift-hassasiyetli şekilde) bu hesaplamayı 
yapabilirsiniz.
 
İzleyeceğiniz yol şu:

Aşağıda açıklanan şekilde kendinizin belirleyeceği S[1] ve S[2] değerleri 
ile n=31 için seriyi oluşturun. Hemen ardından R1 oranını hesaplayın.
 
Tez 1:

L1 alt limit, L2 üst limit olsun;
L1=1x10^(-11)
L2=(1x10^11)-L1

S[1] ve S[2] elemanlarının her biri için L1 ve L2 limitleri arasındaki 
rasyonel sayılardan her hangi birer tanesini (!) seçip seriyi oluşturun.

Hemen ardından oluşturulacak R1 oranı (en az 11 ondalık haneli) 
gözlemlendiğinde;

2. ondalık hanede 1 sayısı görülecektir (2 sayısı 1. asal sayıdır).
5. ondalık hanede 3 sayısı görülecektir (5 sayısı 3. asal sayıdır).
10. ondalık hanede 7 sayısı görülecektir (10 sayısının pozitif tam sayı 
çarpanları 2 ve 5 asal sayılardır; 2 ve 5'in toplamı olan 7 sayısı 
-kaçıncı asal sayı olduklarını belirten- 1 ile 3'ün toplamı olan 
4. asal sayıdır). Şu şekilde:

-,-1--3----7-

Tez 2:

1/R1'e eşit olan bir de R2 oranımız olsun. Yani:  
R2=S[n-1]/S[n]

Tez 1'deki aynı şartlarda oluşturulan serinin sonunda hesaplanan 
R2 oranında bile aynı ondalık hanelerde aynı asal sayılar görülecektir:

-,-1--3----7-

Burada -parantez içinde- başka bir özyinelemeye dikkat çekmek gerekirse: 
31 sayısı 11. asal sayıdır. 11 sayısı 5. asal sayıdır. 
5 sayısı 3. asal sayıdır. 3 sayısı 2. asal sayıdır. 
(Evet; 2 sayısı da 1. asal sayıdır.)

EXCEL kullanırsanız 5 dakikanızı almaz. Ancak bir beklentim olacak: 
Asal sayıları öne çıkardığım bu bulmacanın ardındaki matematiksel olguyu 
kendinizce yorumlayınız ve sorunuz: Nasıl oluyor bu? 
Felsefe yapabilirsiniz.

Ayrıca; ilk bakışta durumu "kavrayanlar", acaba olguyu bu tezlerdeki gibi 
-genel- haliyle biliyorlar mıydı diye merak ediyorum.

İyi Eğlenceler

Saygılarımla...

Ö.B.

Dip Not: Bu özgün bir bulmacadır. Bu bulmacayı aynı bu halde (özellikle 
asal sayı "renklendirmesiyle") bir başka yerde görmeniz olasılığı 1/10^11 
mertebelerindedir. Neden 1/10^11; bulmacaya "kafiye" olsun diye.  

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100611/07cffc67/attachment.htm>