[MD-sorular] Ynt: Re: Ynt: Re: Ynt: Re: Şapkalık

[Gorkem Ozkaya]

Tamamen dediginiz gibi, benim soz ettigim kuramsal bir ayrintiydi.  Mehmet
Kiral'in ilginc ornegi sayesinde dikkatimi cekti.  Pratik anlamda bir onemi
yok, ama kuramsal acidan ilginc ve ogretici oldugunu dusunuyorum.

Tekrar ozetleyecek olursam: bir adi diferansiyel denklem (ADD), denge
noktasi etrafinda biriciklik teoreminin kosullarini sagliyorsa, cozum ya
basindan beri dengededir, ya da dengeye sonlu zamanda ulasamaz.   Bu
kosullar kabaca, denklemi tanimlamada kullanilan fonksiyonlarin denge
noktasinin bir komsulugunda turevlenebilir olmasi olarak ozetlenebilir.

Su ana kadar sozu gecen ADD orneklerinden, bir tek Kerem Altun'un vermis
oldugu x'' = -sgn(x') denkleminde dengeye sonlu zamanda ulasiliyor.  Ancak
bu denklemin taniminda gecen sgn(x) fonksiyonu denge noktasinda surekli
degil, o yuzden beklenmedik bir durum yok.

Bu sonucun benzerinin kismi diferansiyel denklemler icin de gecerli
olacagini dusunuyorum.

Not:  'Uniqueness' karsiligi olarak kullandigim 'biriciklik' terimi umarim
dikkat dagitmiyordur.  Bu sozcugu MD'den ogrenmistim. Diger alternatifi olan
'teklik'ten daha iyi oldugunu dusunuyorum, fakat biraz zor soylendigi icin
kabul gormesi zor olabilir.

Gorkem

2010/6/18 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sn.Görkem Özkaya;
> Önceki iletim de herhalde tam anlatamadığım
> düşüncemi bir örnekle anlatmaya çalışayım:
> Havada açılmış düşen bir paraşüt ve kullananın
> toplam kütlesi (m),sürtünme kuvveti paraşütün
> (v) düşme hızıyla orantılı ve orantı katsayısı k ise;
> buna ait dif. denklem:dv/dt=g-(k/m)v şeklinde olup,
> bunun çözümü v(t)=(mg/k)(1-e^(-kt/m) şeklindedir.
> (t=0 için v=0 başlangıç koşulu altında ki çözüm olup;
> t, saniye olarak zaman, g yer çekim sabiti)Burada
> v(0)=0 ve ancak v(sonsuz)=mg/k olacaktır.
> Kuramsal olarak "atlayan paraşütçünün son hızı/limit hızı
> sonsuz zaman sonra olmakta ve değeri ise (mg/k) dır."
> denilebilir.Ancak pratikte bu limit hıza 10-20 sn sonra ulaşılır;
> zira bu sürenin sonunda limit hıza, (mg/k)(e^(-kt/m) teriminin etkisi
> çok azdır ve göz ardı edilir.Bunu böyle almasak, fiziksel dünyada
> hiç bir sistem sonlu zamanda "kararlı hale gelemez" demek
> durumunda kalırız (sizin düşünceniz).Yine örneğin "saf sinüs" eğrisi
> yoktur,
> zira bir sinüs eğrisi Fourrier serisine açılırsa, sonsuz adet(!)
> sinüs/cosinus
> lü terim toplamından oluştuğu görülür(Elektrik mühendisliğin de
> bu serinin ilk terimine "temel harmonik",diğerlerinede "yan harmonikler"
> diyoruz.)
> Dikkat ederseniz hesaplarımızı sinüs eğrisiyle yaparız; fourrier açılımını
> kullanmayız.
> Yani "yaklaşıklığı" baştan seçeriz.Ne demiş bir düşünür:"Pi sayısı sonsuz
> ondalıklıdır,
> aqma gerçek hayatta sadece 4-5 ondalığını kullanırız." Siz tartışılan
> konuya
> "kuramsal açıdan" be ise pratik açıdan yaklaşıyoruz; farkımız bu sadece..
> Esenlikler dilerim..
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> Dip Söz:Bir önceki ileti de, Sn.E.Mehmet Kıral'ın "kurgusal" düzeneğin de
> kast ettiğim yörünge(orbit); (-Q) yüklü ipin içeride ki (-q) yükle
> etkileşimi
> sonucu dıştaki ipin alacağı şekildir.Bunun daire değil,daireye çok yakın
> elips olacağını savlıyorum.Ek olarak, benim "ters kare" yasasıyla ilgili
> sözlerim
> itme içinde geçerlidir.Sn.Kıral'ın; itme halinde dahi daire bir şeklin
> ortaya
> çıkmayacağını görebilmesi için:Bir kartonun üzerine ince demir tozlarını
> yaysın,
> altına bir miknatısın birbirini iten N-N ( veya S-S) kutuplarını yanyana
> tutsun
> ve demir tozlarının oluşturacağı "yörüngeyi" incelesin.Bunlarda "daire
> biçimli"
> bir iz/yörünge bulamayacaktır.Elektrikli düzenekler/sistemler,çok çok özel
> koşullar
> oluşturulmadıkça "daire" yörüngeler oluşturmazlar!
>
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Gorkem Ozkaya"
> Kime : "dede"
> Cc : "Kerem Altun" ,md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 18/06/2010 6:42
> Konu : Re: [MD-sorular] Ynt: Re: Ynt: Re: Şapkalık
> Eger t = 8'den sonra x(t) = 1 oluyor, salinim tamamen duruyor demek
> istiyorsaniz bu dogru degil. Numerik cozumlere bakinca ilk anda oyle
> bir yanilgi olusabilir. Denklem daha yuksek duyarlikla cozulurse
> oyle olmadigi gorulur. Ekte iki grafik gonderiyorum. Birincisi
> [0,30] araligindaki cozumu gosteriyor, ve burada t = 15'ten sonra
> x(t) = 1 oluyormus gibi gorunuyor. Ikinci grafikte cozume [20, 30]
> araligina buyutecle bakiyoruz ve salinimin devam ettigini goruyoruz.
> (Duyarlik ayari icin Mathematica'da WorkingPrecision->32 ifadesini
> eklemek gerekiyor).
>
> Genligi ustel bir hizla azalsa da, salinim hep devam edecektir. Bunun
> tersi biriciklik teoremiyle celisir. Bu teoreme gore kabaca, herhangi
> bir t aninda bu denklemin cozumunun ve turevinin aldigi degerleri
> biliyorsak, cozumu her yerde biliyoruz demektir. Eger herhangi bir
> t_0 >0 icin, butun t>t_0 icin x(t) = 1 olsaydi, cozumun turevi x'(t)
> de, t>t_0 icin 0 olurdu. Bu da butun t>=0 icin x(t) = 1 oldugu
> anlamina gelirdi.
>
> _____________
> Soz ettigim teorem icin bkz. Boyce ve DiPrima, "Elementary
> differential equations and boundary value problems", 7. baski, Teorem
> 7.1.1. Burada teorem birinci derece denklem sistemleri icin
> verilmis. Fakat ikinci derece bir denklem, birinci derece bir denklem
> sistemine donusturulebilir.
>
>
> 2010/6/17 dede <dede_47 at mynet.com<http://../src/compose.php?send_to=dede_47%40mynet.com&unique_id=4df282d4c8ee9fa3dc5a2cad6ec7695c>
> >
> >
>
> > Sn.Görkem Özkaya'nın verdiği örnekte eğer zaman saniye ise;
> > geçici rejimin 8 saniye sonra bitip,bundan sonra kararlı
> > halin(sürekli rejim hali) başladığı görülebilir.Dolayısıyla kendisinin
> > verdiği örnek düzenekte sistem, sonlu zaman da geçici/sürekli
> > rejim haline geçmektedir.
>
>
> ------------------------------
>  İngilizce seviyenizi ücretsiz test edebilirsiniz. Tıklayınız
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=43910&url=http://www.limasollunaci.com/ingilizce-seviye-tespit-testi.aspx?firmaid=181%26ara=1>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100618/c5793e04/attachment.htm>