[MD-sorular] MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 534, Konu 1

[ozgur baskaya]

Sayın A.Kadir Değirmencioğlu,

bulmacamın size güzel zaman geçirtmiş olması beni mutlu etti.
Umarım buraya fikrini belirtmese de, başka üyeler de ilgilenmişlerdir.
 
"İletinizden bu bulmacanın internette çözümü olduğunu yazmışsınız,meraklandım."
diye yazmışsınız...
 
Yanlış anlaşılmasın; 
bu bulmacanın internette çözümü yok, çünkü bu şekliyle kendim yarattım. 
Özellikle asal sayılarla ilgili "bağıntıları" -şansımın da yardımıyla- 
ben denk getirttim. 

İnternette bulunan çözümler, limit yardımıyla Fibonacci serisinin
bir sonraki elemanın onun öncekine oranının sonsuzuncu n'de yakınsadığı 
değeri bulmak yolunda. Örneğin "Fibonacci" ve "limit" arama sözcükleriyle
aratılırsa karşınıza çıkması lazım.

Ama aynı sizin de kendi bulduğunuz sonuca varılıyor zaten kolayca: 
R1 için R1^2-R1-1=0 (R1^2=1+R1) --> Kökler: +Phi ve -phi 
R2 için R2^2+R2-1=0 (R2^2=1-R2) --> Kökler: +phi ve -Phi 
Pozitif kök seçildiğinde R1=Phi(=1,618...) ve R2=phi(=0,618...)
Eğer benim sorduğum gibi önce R1 bulunduysa, zaten R2=1/R1 olur
(sizin de uyguladığınız gibi).

Önceki iletilerimin birinde Phi ve phi arasındaki bir kaç bağıntıyı
yazmıştım sanıyorum. Kısaca bazılarını yinelemek gerekirse:
Phi=1/phi
Phi-phi=1
Phi+phi^2=2
Phi^2+phi^2=3 ...

"Herhangi iki -pozitif rasyonel- sayının" toplamı ile başlatılan 
bu özel serinin yukarıda belirtilen oranının hep aynı sonuca gidiyor
olması bence felsefik bir konu. Doğadaki çoğalma/büyüme/gelişme gibi
olguların temelinde yatıyor olduğunu düşündürtüyor.

Doğada görülen Phi sayısının "5" sayısının karekökünden türediği 
gerçeğini göz önüne alırsak -üzerlerinde Phi sayısının da bulunduğu-
Pentagram'ın (beş köşeli yıldız) ve Pentagon'un (düzgün beşgen) 
ve hatta Dodecahedron'un (her biri düzgün beşgen olan yüzeylerin 
12 adedinin bir araya gelmesiyle oluşan kapalı "Eflatun cismi") 
antik çağlardan beri gördüğü ilgiyi daha iyi anlayabiliriz.  

Saygılarımla

Ö.B.

---

Sayın Özgür Başkaya; 
Siteminizde haklısınız,benim çözümüm tüm üyelere gidince
haliyle hiç kimse de "çözme aşkı" kalmadı,kimse bulmaca çözme zevki almadı!
"Bulmacanız" benim en çok sevdiğim türdendi,hemen çözüme yoğunlaştım.
Aklıma ne internet geldi,ne de araştırıp çözümü nasıl diye bakmak...
(Şu ana kadar da bakmış,araştırmış değilim)Benim çözüm aşamalarım şöyle:
1-Önce "n=31 ve 11. ondalığa kadar hesaplama" vurgunuzdan,R1 ve R2 sayılarının
ondalık kısmının eşit olması "gerekliliğini",S(1) ve S(2) nin "rasgele”
seçilmesinden ise,R1 ve R2 nin bu sayılara fazla bağımlı olmadığını çok büyük
n sayıları için S(1) ve S(2) nin önemsiz olabileceğini düşündüm. 
2-Verdiğiniz S(n)=S(n-1)+S(n-2) fark denkleminin (difference equation)
her iki tarafını S(n-1) bölerek,n→∞ için limit aldım,yani 
lim(S(n)/S(n-1)=1+lim(S(n-2)/S(n-1)) alarak büyük sayılarda 
(n=31 vurgulamanız!) bunun R1=1+ lim((S(n-2)/S(n-1))
olduğunu düşündüm.Büyük sayılarda,   n→n+1 için,
lim(S(n-2)/S(n-1))=lim(S(n-1)/S(n) =R2=1/R1;olur,yani R1=1+1/R1 buldum.
Buradan (R1)^2-R1-1 ikinci derece denkleminden 
R1=(kök(5)+1)/2=1.6180033…..(altın oran!) ve diğer kök R2=1/R1=0.6180033….
=R1-1 buldum. Bu iki kökün ondalık kısımları eşitti tabii..Bilmece çözülmüştü!
3-Bu çözümün doğruluğu için başka bir test yaptım.Verdiğiniz fark denklemi
Fibonacci dizisinin “fark” denklemiydi.(bu dizi de her terim, kendinden önceki 
iki terimin toplamıdır,biliyorsunuz) Bu dizinin bilinen “kök(5)“ li çözümünden;
S(n)/S(n-1) oranını n→∞ için limitini alınca benim önceden bulduğum R1 ile aynı 
olduğunu görünce,çözümün doğruluğuna emin oldum ve  listeye yazdım.
İletinizden bu bulmacanın internette çözümü olduğunu yazmışsınız,meraklandım.
Çözümün olduğu yerin adresini verirseniz;benimkiyle “karşılaştırmak” isterim.
Sağlıklı bir yaşam dileklerimle..
A.Kadir Değirmencioğlu



>----- Özgün İleti -----
>Kimden : "ozgur baskaya" 
>Kime : md-sorular at matematikdunyasi.org
>Gönderme tarihi : 13/06/2010 14:21
>Konu : Re: [MD-sorular]MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 534, Konu 1
>
>Merhabalar
>
>
>Bazı şeyler önceden düşünülemiyor. Şimdi deneyim edindim ki, bir dahaki sefere
>bir bulmaca daha sorarsam, üyelere yollanan emaillerde bulmacanın bulunduğu mesajın 
>hemen altında çözümün yeraldığı başka bir mesajın görülmemesi için moderasyondan 
>ricada bulunmam gerekiyormuş; belki yanıt mesajları bir sonraki toplu emaile kadar 
>bekletilebilir, olmaz mı? Benim açımdan biraz talihsiz bir durum oldu. Amacım 
>meraklı üyelerimizi biraz eğlendirmek, şaşırtmak ve düşündürmekti. MD-sorular ile 
>-sadece- toplu email almak suretiyle bağlantıda olan üyelerimizin bulmacayla 
>ilgilenme motivasyonu düşmüştür herhalde, yanıtını da hemen okuyunca... 
>Neyse, deneyim edinmiş oldum.
>
>
>Sayın A.Kadir Değirmencioğlu,
>
>bulmacamla ilgilendiğiniz için teşekkür ederim. Ancak mesajınızda belirtmediğiniz 
>için merak ettim: Önce benim sözettiğim yolu denediniz mi? Yoksa doğrudan çözmek 
>yoluna mı gittiniz? Umarım önce denemiş ve sonra gizemi kaldırmak yoluna 
>gitmişsinizdir. Uğraştığınız için teşekkür ederim.  
>
>
>Dikkat edenler için: S[1]=1 ve S[2]=1 için seri doğrudan Fibonacci serisi oluyor. 
>Bunun limitle çözümü internette bol miktarda mevcut; sonunda R1 oranı için 
>o tanınan 2.dereceden denkleme erişilip, köklerinin  pozitif olanı seçiliyor 
>ki bu da Altın Oran zaten. Ancak bu seride elemanlarımız doğal sayılar. 
>
>
>
>Bulmacayı çözmek için uğraşan MD-Sorular üyesi şöyle bir çıkarımda bulunabilmiş 
>olsa benim için olay tamamdır: Demek doğal sayı olmak zorunda olmadan, herhangi 
>iki pozitif rasyonel sayı seçilmiş olsa bile yol altın orana "çıkıyor". 
>(Bazen özel hallere çok yoğunlaşıp geneli kaçırabiliyoruz.) 
>
>Aslında bu durum başlı başına felsefe konusu. Ne menem birşeydir bu ALTIN ORAN?
>
>Biri "ALTIN ORAN niçin vardır, neden doğada çok yerde karşımıza çıkar?" diye 
>sorsa, işgüzarlık etmiş diye düşünülürdü herhalde (!)
>
>
>En iyisi fazla kafa yormayalım; x^2-x-1=0 denkleminin köklerinin pozitif olanıdır 
>diye cebirsel şekilde "çözelim" olayı! 
>
>
>Saygılarımla
>ö.B.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100619/386c8722/attachment.htm>