[MD-sorular] Re: Kafayi yedirten dogal sayilar

28 Haz 2010 Pzt 23:13:05 EEST

Listeye yeni üyeyim ve bundan önce bu konuya iki mesaj atmıştım ama 
mesajlar moderatör onayı beklerken gönderimleri iptal edip daha önce 
yazdıklarımı tek bir mesajda biraz daha düzgünce toparlayım dedim, eğer 
yanlışlıkla daha önce yazdıklarım da listeye ulaşırsa şimdiden pardon :).

> *E. Mehmet Kıral* luzumi at gmail.com  <mailto:md-sorular%40matematikdunyasi.org?Subject=Re%3A%20%5BMD-sorular%5D%20Kafayi%20yedirten%20dogal%20sayilar&In-Reply-To=%3CAANLkTimvcB-A4ONE0e8jAkZW7nG10NeYt2ois166aQZy%40mail.gmail.com%3E>
> /23 Haz 2010 Çar 00:41:44 EEST/
> Bu soruyla alakalı, cevabını alırsam bu soruyu anlamamızda önemli bir rol
> oynayacağına inandığım ve kaç zamandır cevabını aradığım bir soruyu sormak
> istiyorum.
>
> Kümeler kuramının (ZFC'nin örneğin) modeli ne demektir. Örneğin gruplar
> kuramının bir modeli herhangi bir grup örneğidir. O grup da temelinde bir
> kümedir. Ancak kümeler kuramınınki nedir?
>   
Bir yapının ( http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(model_theory) 
<http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_%28model_theory%29> ), bir 
teorinin (belirli bir formal dil içerisindeki bir cümleler topluluğunun) 
modeli olmasının matematiksel tanımı -takdir edeceğiniz üzere- belli. Bu 
tanımda modelin evreninin (yani teoriyi üzerinde yorumlayacağımız 
nesneler topluluğunun) bir küme olduğu söylenir. Anladığım kadarıyla 
sorunuz "kümeler teorisinin bir modelinden konuştuğumuzda o modelin 
evreni, modelin matematiksel tanımı gereği bir 'küme' olmak zorunda, ama 
tüm evrenimiz kendisini içeremez ve dolayısıyla küme olamaz, o zaman 
nasıl oluyor da o toplulukten kümeler teorisinin bir modeli olarak söz 
edebiliyoruz?" gibi bir şey. Daha önce ben de bunu kafaya takmış olmakla 
beraber -çok keskin olmamakla beraber- bazı cevaplara ve yaklaşımlara 
ulaştım. Daha iyi anlaşılmak için bazı teoriler ve bu teorilerin 
modelleri ile ilgili bir kaç örnek ekleyeceğim:

Şimdi ZFC'den önce, ZFC'den daha basit olan ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom 
of Infinity teorisinin bir modeline bakalım. Tüm sonlu kümeler topluluğu 
(yani rankı \omega'dan küçük tüm kümeler, bu kümeye M diyelim) bu teori 
için bir model oluşturur. Bu teorideki aksiyomların hepsinin teker teker 
bu yapı içerisinde doğru olduğunu kontrol edebilirsiniz. Peki bu çek 
etme işini biz insan olarak sözel bir şekilde yapabiliyoruz ama bu 
matematiksel olarak ifade edilebilir mi?

Bir yapının bir teorinin modeli olmasının tanımı kümeler üzerinden 
yapıldığına göre bu, ZFC içinde ifade edilebilir. Yani ZFC'nin dilindeki 
cümleleri uygun bir şekilde kümelerle kodlarsanız (açıkçası böyle bir 
kodlama bilmiyorum ama Gödel numaralandırmasına benzer bir şey teoride 
yapılabilmeli), öyle bir phi(x,y) formülü vardır ki, x kümesi y 
kümesinin belirttiği cümleler topluluğu için bir model ise phi(x,y) 
doğru olur, aksi halde phi(x,y) yanlış olur. Yukarıda teorinin 
aksiyomlarının hepsinin M içerisinde doğru olduğunu kontrol 
edebilirsiniz derken aslında kastettiğim, t bu teoriyi kodlayan bir küme 
ise, "phi(M,t)" cümlesinin *ZFC*'nin bir teoremi olduğu idi. Kısaca ZFC, 
ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom of Infinity'nin bir modele sahip olduğunu 
kanıtlayabiliyor. Ama ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom of Infinity, M'nin 
kendisi için bir model olduğunu kanıtlayamaz, çünkü bu teoriye göre M 
bir küme bile değil (çünkü teorimiz sonsuz kümelerin var olmadığını 
söylüyor)!

Şimdi M, ZFC-Axiom of Infinity için de bir model. Ama ZFC'nin herhangi 
bir modeli de ZFC-Axiom of Infinity için bir model. Ama burada Axiom of 
Infinity doğru olduğu için, bu model M dediğimiz nesneyi bir küme olarak 
tanıyor. Kısaca M dediğimiz topluluk aynı teorinin iki farklı modelinin 
birinde varken -yani o modele göre "küme" sıfatını hakediyor iken-, 
diğerinde yok.

(Aşağıdaki kısmı daha detaylı olarak Paul Cohen'in Set Theory and the 
Continuum Hypothesis kitabının Ch.2.7. kısmında bulabilirsiniz)

Bunlar kenarda dursun. Yukarıdakine benzer bir işi şimdi ZFC'nin kendisi 
üzerinde yapacağız. Bu sefer ZFC'ye ekstra bir T aksiyomu ekleyeceğiz:
Öyle bir sayılamaz A kardinal sayısı vardır ki, her B<A kardinali için 
|P(B)|<A, ve A, A'dan küçük B tane kardinal sayının toplamı olarak 
yazılamaz.

Şimdi ZFC+T'nin herhangi bir modelinde, rankı ( 
http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(set_theory) 
<http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28set_theory%29> ) A'dan küçük tüm 
kümelerin kümesine N diyelim. Rankı verilen bir ordinalden küçük tüm 
kümelerin gerçekten de bir küme oluşturduğu kanıtlanabilir. Yani N diye 
bir küme gerçekten ZFC+T'nin herhangi bir modeli içerisinde var. Şimdi 
iddiamız N'nin ZFC için bir model oluşturduğu. Cohen formall ispatı 
yapmıyor ama bunun sezgisel olarak şuradan görülebileceğini söylüyor: A 
yukarıdaki özellikleri sağladığı için, rankı A'dan küçük olan bir küme 
üzerinde kuvvet kümesi ya da yerleştirme (replacement) aksiyomunu 
kullanarak rankı A'dan büyük şeyler elde edemeyiz. Diğer aksiyomların da 
rankı A'dan küçük şeyleri sabit bıraktığı ortada. Yani N kümesi bir nevi 
ZFC'nin aksiyomları altında "kapalı". Bir önceki örnekteki gibi tüm 
aksiyomlar kontrol edilerek N'nin ZFC için bir model oluşturduğu formal 
olarak da *ZFC+T* içerisinde kanıtlanabilir. Yani u, ZFC'nin 
aksiyomlarını kodlayan küme ise, phi(N,u) ZFC+T'nin bir teoremidir.

Şimdi ZFC+T, ZFC'nin bir modele sahip olduğunu (dolayısıyla tutarlı 
olduğunu) kanıtladığına göre T, ZFC'den bağımsız olmalı. Aksi halde 
Gödel'in teoremiyle çelişiriz. Yukarıdaki özelliği sağlayan kardinallere 
"inaccessible cardinal" deniyor (aslında sanırım literatürdeki tanım 
biraz daha farklı ama Cohen kitabında böyle tanımlamış). İnternette 
biraz araştırma yaparak bu kardinaller hakkında daha çok bilgi 
edinebilirsiniz. Şu an için bize sadece bu kardinallerin var olduğunu 
söyleyen aksiyomların ZFC'den bağımsız oldukları bilgisi gerekiyor.

Şimdi T, ZFC'den bağımsız olduğuna göre, ZFC tutarlı ise, hem ZFC+T hem 
de ZFC+~T tutarlı teorilerdir ve Gödel'in completeness teoremi gereği 
ikisinin de modelleri vardır. Dolayısıyla ZFC tutarlı ise, ZFC'nin öyle 
iki modeli var ki birinde N diye tanımladığımız obje modelimizin 
evreninde var, diğerinde ise yok.

Şimdi kümeler teorisinin bir modeli ne demektir sorunuzu tam olarak 
yanıtlamadığımın farkındayım ama ilk başta da dediğim gibi zaten bir 
yapının bir teorinin modelinin olması tanımı belli. Kümeler teorisinin 
biricik, "official" bir modeli yok. Eğer dışarıda bir yerlerde bir 
kümeler evreninin var olduğuna inanıyorsanız ve sizin için orada bir 
"inaccessible cardinal" varsa, sizin için küme olan bir obje benim 
evrenimde küme olmak için "çok büyük" kalıyor olabilir. Ya da sizin 
kümeler evreninizde eğer her küme inşa edilebilir ( 
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe ) ise size göre 
\aleph_0 ile 2^\aleph_0 arasında kardinal bir sayı yoktur ama benim 
evrenimde araya bir sürü kardinal sayı girebilir.

Buradan varmak istediğim nokta şu, birisi mesela "\kappa inaccessible 
bir kardinal olsun. V_\kappa (rankı \kappa'dan küçük kümeler) ZFC için 
bir model oluşturur" dediğinde aslında kanıtladığı ZFC+T'nin phi(N,u)'yu 
kanıtladığı. Bu dediğimizi değişik bir biçimde ifade edersek aslında 
kanıtlanan "Inaccessible bir \kappa kardinali var ise V_\kappa 
içerisinde ZFC'nin aksiyomları doğrudur" cümlesinin ZFC'nin bir teoremi 
olduğu.

Ya da biri çıkıp inşa edilebilir evrenin ZFC'nin bir modeli olduğunu 
iddia ettiğinde söylediği şey aslında, inşa edilebilir kümelerin ZFC'nin 
tüm aksiyomlarını "sağladığı"dır. Bu da şuna denk; ZFC'nin aksiyomlarını 
inşa edilebilir kümelere kısıtlarsanız (yani aksiyomlarda "quantify" 
ettiğiniz tüm kümelerin inşa edilebilir olduğu koşulunu bu aksiyomlara 
eklerseniz) oluşan yeni önermelerin ZFC'nin bir teoremi olur.

*Hoş bu son örnekte yukarıda dediğimle biraz çelişmiş olacağım çünkü 
inşa edilebilir kümelerin, L'nin hiç bir zaman küme oluşturmadığı ZFC 
içerisinde kanıtlanabilir (çünkü tüm ordinaller üzerinde bir birleşim 
alınıyor)*. Ama gene de ZFC'nin aksiyomlarının inşa edilebilir kümeler 
"class"ında doğru olduğunu gösterebildiğimiz için model demekte sakınca 
olmasa gerek :) (evet burada biraz yan çizdim).

Biraz uzun bir yazı oldu ama bu kadar uzatmamın nedeni aslında benim de 
sormak istediğiniz şeyi zamanında çok kafaya takmış olmam, zaten dediğim 
gibi şu an da çok "keskin" bir yaklaşıma sahip değilim ama en azından 
birisi kümeler teorisinin bir modeliyle ilgili bir kanıt yaptığını 
söylediğinde, yaptığı işi *ZFC içerisinde* yaptığına ikna olmuş durumdayım.

Tibet efendi, doğal sayılar, rasyonel sayılar, gerçel sayılar varlar, 
çünkü ZFC'nin tutarlı olduğuna (buna denk olarak bir modeli olduğuna) 
inanıyoruz. Matematiksel argümanlar yapısı gereği sonuçta hep başka 
şeylere dayanmak zorunda ve en dipte şu an için ZFC var. Eğer ZFC'nin 
tutarlılığına inanmazsak zaten ortada matematik kalmaz.

Burak.
> 2010/6/22 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com <http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>>
>
> >/ Gecen dönem bir mantik dersi aldim. Gödel'in büyük kanitlarini yaptik.
> />/ Hatta sinavda bana Henkin'in kaniti soruldu. Kaniti eksiksiz anlattim. Yani
> />/ konu hakkinda bayagi düsündüm ettim, biliyorum. Ama sunu bir dönem boyunca
> />/ asla anlayamadim: Dogal sayilari nasil tanimliyoruz? Daha dogrusu dogal
> />/ sayilar diye bir sey daha dogrusu bir küme var mi?
> />/
> />/ Dogal sayilari diyelim bilindik sekilde tanimladik. Yani sifir bos küme
> />/ oluyor ya hani... Sonra her sayi kendinden önceki sayilarin iceren küme
> />/ oluyor. Diyelim o sekilde tanimladik. Bu ortaya cikan seyin yeni bir küme
> />/ oldugunu ZFC ile kanitliyoruz. (Orada buna mahsus güzel bir aksiyom var.
> />/ "dogal sayilar kümesi vardir" demeye getiriyor.)
> />/
> />/ Simdi sorum su: ZFC'nin tutarli oldugunun kanitlanamayacagini biliyoruz.
> />/ Dolayisiyla ZFC'nin bir modeli olup olmadiginin kanitlanamayacagini da
> />/ biliyoruz. E peki o zaman ZFC ile varligini kanitladigimiz "dogal sayilar
> />/ kümesi"nin bir modelinin olup olmadigini da asla bilemeyecek oluyoruz.
> />/
> />/ Ve bu her sey icin gecerli! Yani rasyonel sayilar, reel sayilar. Bunlarin
> />/ hicbirinin temeli saglam degil.
> />/ Varlar cünkü varlar.
> />/
> />/ Yani matematik bir sekilde kendi kendine dayaniyor. Kendi varligini
> />/ kendiyle temellendiriyor.
> />/ Alti bos yani! Kendi kuyrugunu isiran yilan gibi. Cok korkutucu degil mi?
> />/
> />/ Ya da bir yerde bir mantik hatasi yapiyorum. Ama nerede?
> />/
> />/ tibet
> />/
> />/
> />/ _______________________________________________/