[MD-sorular] Kafayi yedirten dogal sayilar

29 Haz 2010 Sal 12:41:44 EEST

Tibet efendi, doğal sayılar, rasyonel sayılar, gerçel sayılar varlar, çünkü ZFC'nin tutarlı olduğuna (buna denk olarak bir modeli olduğuna) inanıyoruz. Matematiksel argümanlar yapısı gereği sonuçta hep başka şeylere dayanmak zorunda ve en dipte şu an için ZFC var. Eğer ZFC'nin tutarlılığına inanmazsak zaten ortada matematik kalmaz.
Zaten beni rahatsiz eden sey, ZFC'nin tutarli oldugunun kanitlanamamis olmasi degil. ZFC'nin tutrarli oldugunun kanitlanamayacaginin kanitlanmis olmasi. (kendi icinde) Dolayisiyla elimizde "inanmak veya inanmamak"tan baska care yok dediginiz gibi.
Bana dogal sayilar falan hep insan ürünü seylermis gibi gelmeye basladi. Yani 1,2,3 falan bunlar insan zihnine özel seyler olmayabilir belki, uzaylilar da aynen böyle yaparlardi. Ama sonsuzluk bence bizim uydurdugumuz bir kavram. Dogada sonsuz diye bir sey yok. O yüzden bir gün bir yerden catlayacak matematigimiz diye korkuyorum. :)
tibet

--- On Mon, 6/28/10, Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> wrote:

From: Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
Subject: [MD-sorular]  Re: Kafayi yedirten dogal sayilar
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Monday, June 28, 2010, 10:13 PM

Listeye yeni üyeyim ve bundan önce bu konuya iki mesaj atmıştım ama mesajlar moderatör onayı beklerken gönderimleri iptal edip daha önce yazdıklarımı tek bir mesajda biraz daha düzgünce toparlayım dedim, eğer yanlışlıkla daha önce yazdıklarım da listeye ulaşırsa şimdiden pardon :).

> *E. Mehmet Kıral* luzumi at gmail.com  <mailto:md-sorular%40matematikdunyasi.org?Subject=Re%3A%20%5BMD-sorular%5D%20Kafayi%20yedirten%20dogal%20sayilar&In-Reply-To=%3CAANLkTimvcB-A4ONE0e8jAkZW7nG10NeYt2ois166aQZy%40mail.gmail.com%3E>
> /23 Haz 2010 Çar 00:41:44 EEST/
> Bu soruyla alakalı, cevabını alırsam bu soruyu anlamamızda önemli bir rol
> oynayacağına inandığım ve kaç zamandır cevabını aradığım bir soruyu sormak
> istiyorum.
> 
> Kümeler kuramının (ZFC'nin örneğin) modeli ne demektir. Örneğin gruplar
> kuramının bir modeli herhangi bir grup örneğidir. O grup da temelinde bir
> kümedir. Ancak kümeler kuramınınki nedir?
>   
Bir yapının ( http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(model_theory) <http://en.wikipedia.org/wiki/Structure_%28model_theory%29> ), bir teorinin (belirli bir formal dil içerisindeki bir cümleler topluluğunun) modeli olmasının matematiksel tanımı -takdir edeceğiniz üzere- belli. Bu tanımda modelin evreninin (yani teoriyi üzerinde yorumlayacağımız nesneler topluluğunun) bir küme olduğu söylenir. Anladığım kadarıyla sorunuz "kümeler teorisinin bir modelinden konuştuğumuzda o modelin evreni, modelin matematiksel tanımı gereği bir 'küme' olmak zorunda, ama tüm evrenimiz kendisini içeremez ve dolayısıyla küme olamaz, o zaman nasıl oluyor da o toplulukten kümeler teorisinin bir modeli olarak söz edebiliyoruz?" gibi bir şey. Daha önce ben de bunu kafaya takmış olmakla beraber -çok keskin olmamakla beraber- bazı cevaplara ve yaklaşımlara ulaştım. Daha iyi anlaşılmak için bazı teoriler ve bu teorilerin modelleri
 ile ilgili bir kaç örnek ekleyeceğim:

Şimdi ZFC'den önce, ZFC'den daha basit olan ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom of Infinity teorisinin bir modeline bakalım. Tüm sonlu kümeler topluluğu (yani rankı \omega'dan küçük tüm kümeler, bu kümeye M diyelim) bu teori için bir model oluşturur. Bu teorideki aksiyomların hepsinin teker teker bu yapı içerisinde doğru olduğunu kontrol edebilirsiniz. Peki bu çek etme işini biz insan olarak sözel bir şekilde yapabiliyoruz ama bu matematiksel olarak ifade edilebilir mi?

Bir yapının bir teorinin modeli olmasının tanımı kümeler üzerinden yapıldığına göre bu, ZFC içinde ifade edilebilir. Yani ZFC'nin dilindeki cümleleri uygun bir şekilde kümelerle kodlarsanız (açıkçası böyle bir kodlama bilmiyorum ama Gödel numaralandırmasına benzer bir şey teoride yapılabilmeli), öyle bir phi(x,y) formülü vardır ki, x kümesi y kümesinin belirttiği cümleler topluluğu için bir model ise phi(x,y) doğru olur, aksi halde phi(x,y) yanlış olur. Yukarıda teorinin aksiyomlarının hepsinin M içerisinde doğru olduğunu kontrol edebilirsiniz derken aslında kastettiğim, t bu teoriyi kodlayan bir küme ise, "phi(M,t)" cümlesinin *ZFC*'nin bir teoremi olduğu idi. Kısaca ZFC, ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom of Infinity'nin bir modele sahip olduğunu kanıtlayabiliyor. Ama ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom of Infinity, M'nin kendisi için bir model olduğunu kanıtlayamaz, çünkü bu teoriye göre M bir küme
 bile değil (çünkü teorimiz sonsuz kümelerin var olmadığını söylüyor)!

Şimdi M, ZFC-Axiom of Infinity için de bir model. Ama ZFC'nin herhangi bir modeli de ZFC-Axiom of Infinity için bir model. Ama burada Axiom of Infinity doğru olduğu için, bu model M dediğimiz nesneyi bir küme olarak tanıyor. Kısaca M dediğimiz topluluk aynı teorinin iki farklı modelinin birinde varken -yani o modele göre "küme" sıfatını hakediyor iken-, diğerinde yok.

(Aşağıdaki kısmı daha detaylı olarak Paul Cohen'in Set Theory and the Continuum Hypothesis kitabının Ch.2.7. kısmında bulabilirsiniz)

Bunlar kenarda dursun. Yukarıdakine benzer bir işi şimdi ZFC'nin kendisi üzerinde yapacağız. Bu sefer ZFC'ye ekstra bir T aksiyomu ekleyeceğiz:
Öyle bir sayılamaz A kardinal sayısı vardır ki, her B<A kardinali için |P(B)|<A, ve A, A'dan küçük B tane kardinal sayının toplamı olarak yazılamaz.

Şimdi ZFC+T'nin herhangi bir modelinde, rankı ( http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(set_theory) <http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28set_theory%29> ) A'dan küçük tüm kümelerin kümesine N diyelim. Rankı verilen bir ordinalden küçük tüm kümelerin gerçekten de bir küme oluşturduğu kanıtlanabilir. Yani N diye bir küme gerçekten ZFC+T'nin herhangi bir modeli içerisinde var. Şimdi iddiamız N'nin ZFC için bir model oluşturduğu. Cohen formall ispatı yapmıyor ama bunun sezgisel olarak şuradan görülebileceğini söylüyor: A yukarıdaki özellikleri sağladığı için, rankı A'dan küçük olan bir küme üzerinde kuvvet kümesi ya da yerleştirme (replacement) aksiyomunu kullanarak rankı A'dan büyük şeyler elde edemeyiz. Diğer aksiyomların da rankı A'dan küçük şeyleri sabit bıraktığı ortada. Yani N kümesi bir nevi ZFC'nin aksiyomları altında "kapalı". Bir önceki örnekteki gibi tüm aksiyomlar kontrol edilerek
 N'nin ZFC için bir model oluşturduğu formal olarak da *ZFC+T* içerisinde kanıtlanabilir. Yani u, ZFC'nin aksiyomlarını kodlayan küme ise, phi(N,u) ZFC+T'nin bir teoremidir.

Şimdi ZFC+T, ZFC'nin bir modele sahip olduğunu (dolayısıyla tutarlı olduğunu) kanıtladığına göre T, ZFC'den bağımsız olmalı. Aksi halde Gödel'in teoremiyle çelişiriz. Yukarıdaki özelliği sağlayan kardinallere "inaccessible cardinal" deniyor (aslında sanırım literatürdeki tanım biraz daha farklı ama Cohen kitabında böyle tanımlamış). İnternette biraz araştırma yaparak bu kardinaller hakkında daha çok bilgi edinebilirsiniz. Şu an için bize sadece bu kardinallerin var olduğunu söyleyen aksiyomların ZFC'den bağımsız oldukları bilgisi gerekiyor.

Şimdi T, ZFC'den bağımsız olduğuna göre, ZFC tutarlı ise, hem ZFC+T hem de ZFC+~T tutarlı teorilerdir ve Gödel'in completeness teoremi gereği ikisinin de modelleri vardır. Dolayısıyla ZFC tutarlı ise, ZFC'nin öyle iki modeli var ki birinde N diye tanımladığımız obje modelimizin evreninde var, diğerinde ise yok.

Şimdi kümeler teorisinin bir modeli ne demektir sorunuzu tam olarak yanıtlamadığımın farkındayım ama ilk başta da dediğim gibi zaten bir yapının bir teorinin modelinin olması tanımı belli. Kümeler teorisinin biricik, "official" bir modeli yok. Eğer dışarıda bir yerlerde bir kümeler evreninin var olduğuna inanıyorsanız ve sizin için orada bir "inaccessible cardinal" varsa, sizin için küme olan bir obje benim evrenimde küme olmak için "çok büyük" kalıyor olabilir. Ya da sizin kümeler evreninizde eğer her küme inşa edilebilir ( http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe ) ise size göre \aleph_0 ile 2^\aleph_0 arasında kardinal bir sayı yoktur ama benim evrenimde araya bir sürü kardinal sayı girebilir.

Buradan varmak istediğim nokta şu, birisi mesela "\kappa inaccessible bir kardinal olsun. V_\kappa (rankı \kappa'dan küçük kümeler) ZFC için bir model oluşturur" dediğinde aslında kanıtladığı ZFC+T'nin phi(N,u)'yu kanıtladığı. Bu dediğimizi değişik bir biçimde ifade edersek aslında kanıtlanan "Inaccessible bir \kappa kardinali var ise V_\kappa içerisinde ZFC'nin aksiyomları doğrudur" cümlesinin ZFC'nin bir teoremi olduğu.

Ya da biri çıkıp inşa edilebilir evrenin ZFC'nin bir modeli olduğunu iddia ettiğinde söylediği şey aslında, inşa edilebilir kümelerin ZFC'nin tüm aksiyomlarını "sağladığı"dır. Bu da şuna denk; ZFC'nin aksiyomlarını inşa edilebilir kümelere kısıtlarsanız (yani aksiyomlarda "quantify" ettiğiniz tüm kümelerin inşa edilebilir olduğu koşulunu bu aksiyomlara eklerseniz) oluşan yeni önermelerin ZFC'nin bir teoremi olur.

*Hoş bu son örnekte yukarıda dediğimle biraz çelişmiş olacağım çünkü inşa edilebilir kümelerin, L'nin hiç bir zaman küme oluşturmadığı ZFC içerisinde kanıtlanabilir (çünkü tüm ordinaller üzerinde bir birleşim alınıyor)*. Ama gene de ZFC'nin aksiyomlarının inşa edilebilir kümeler "class"ında doğru olduğunu gösterebildiğimiz için model demekte sakınca olmasa gerek :) (evet burada biraz yan çizdim).

Biraz uzun bir yazı oldu ama bu kadar uzatmamın nedeni aslında benim de sormak istediğiniz şeyi zamanında çok kafaya takmış olmam, zaten dediğim gibi şu an da çok "keskin" bir yaklaşıma sahip değilim ama en azından birisi kümeler teorisinin bir modeliyle ilgili bir kanıt yaptığını söylediğinde, yaptığı işi *ZFC içerisinde* yaptığına ikna olmuş durumdayım.

Tibet efendi, doğal sayılar, rasyonel sayılar, gerçel sayılar varlar, çünkü ZFC'nin tutarlı olduğuna (buna denk olarak bir modeli olduğuna) inanıyoruz. Matematiksel argümanlar yapısı gereği sonuçta hep başka şeylere dayanmak zorunda ve en dipte şu an için ZFC var. Eğer ZFC'nin tutarlılığına inanmazsak zaten ortada matematik kalmaz.

Burak.
> 2010/6/22 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com <http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>>
> 
> >/ Gecen dönem bir mantik dersi aldim. Gödel'in büyük kanitlarini yaptik.
> />/ Hatta sinavda bana Henkin'in kaniti soruldu. Kaniti eksiksiz anlattim. Yani
> />/ konu hakkinda bayagi düsündüm ettim, biliyorum. Ama sunu bir dönem boyunca
> />/ asla anlayamadim: Dogal sayilari nasil tanimliyoruz? Daha dogrusu dogal
> />/ sayilar diye bir sey daha dogrusu bir küme var mi?
> />/
> />/ Dogal sayilari diyelim bilindik sekilde tanimladik. Yani sifir bos küme
> />/ oluyor ya hani... Sonra her sayi kendinden önceki sayilarin iceren küme
> />/ oluyor. Diyelim o sekilde tanimladik. Bu ortaya cikan seyin yeni bir küme
> />/ oldugunu ZFC ile kanitliyoruz. (Orada buna mahsus güzel bir aksiyom var.
> />/ "dogal sayilar kümesi vardir" demeye getiriyor.)
> />/
> />/ Simdi sorum su: ZFC'nin tutarli oldugunun kanitlanamayacagini biliyoruz.
> />/ Dolayisiyla ZFC'nin bir modeli olup olmadiginin kanitlanamayacagini da
> />/ biliyoruz. E peki o zaman ZFC ile varligini kanitladigimiz "dogal sayilar
> />/ kümesi"nin bir modelinin olup olmadigini da asla bilemeyecek oluyoruz.
> />/
> />/ Ve bu her sey icin gecerli! Yani rasyonel sayilar, reel sayilar. Bunlarin
> />/ hicbirinin temeli saglam degil.
> />/ Varlar cünkü varlar.
> />/
> />/ Yani matematik bir sekilde kendi kendine dayaniyor. Kendi varligini
> />/ kendiyle temellendiriyor.
> />/ Alti bos yani! Kendi kuyrugunu isiran yilan gibi. Cok korkutucu degil mi?
> />/
> />/ Ya da bir yerde bir mantik hatasi yapiyorum. Ama nerede?
> />/
> />/ tibet
> />/
> />/
> />/ _______________________________________________/
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100629/3e6d5361/attachment.htm>