[MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler

30 Haz 2010 Çar 03:27:40 EEST

Iki ayna arasinda sonsuz görüntü olusmaz. Görüntüler giderek ufaliyor. Atom boyutunda görüntü olur mu? bir atomun 10^1000000'de biri boyutunda bir görüntü olur mu? Foton olayina kadar kücülüyor mesele. O boyutta düsününce bu sistemin sonlu oldugunu kavramak daha mümkün.
Evren de "sonsuz" degil sanirim. Fizik hocamiz bize lisede söyle demisti: Dünyadan ayrilip tek bir yöne dogru hic yön degistirmeden giderseniz yeteri kadar gittiginizde karsiniza yine dünya cikarmis. (teorik olarak) Evrenin böyle kendi icine dogru dönen garip bir sekli varmis.Ben onun yalancisiyim tabi burada. Fizikten hic anlamam.
Dogal sayilar kümesi neden "insan yaratisidir" diyorum? Cünkü sonsuz elemanli dogal sayilar kümesi isin icine girince onun varligini gösterebildigin aksiyom sistemlerinin tutarliligini kanitlayamiyorsun. Kanitlanamayacagi kanitlandi. Ama bu herhangi aksiyom sisteminin kendi icinde tutarliligi kanitlamanaz demek degil. Illa ki dogal sayilari, onlarin carpmasini ve toplamasini icermesini gerekiyor bu sistemin. Gödel'in eksiklik teoreminin kosulu bu.
Infinitesimal diye bir kavram var biliyorsunuz. Sonsuz kücüklükte uzakliklar. Türev-integral hesabi gelistirilirken Newton'lar Leibniz'ler falan hep bu sonsuz ufakliktaki sayilarla düsündüler, hatta onlarla hesap yaptilar. Bu sonsuz kücüklükteki sayilarla türev-integral hesabini gelistirdiler. Daha o zamanlar epsilonlu yakinsama tanimi bile yoktu. Deltalar epsilonlar hep sonradan bu hesaplari saglam bir temele oturtmak icin cikti. Cikti da ne oldu, saglam temele oturdu mu? Oturmadi. (bizim tartismamiz) Ama matematikciler dayandiklari aksiyom sistemini basitlestirdikce onun dayanikliligina daha bir güvendiler.
Neyse.. ne diyordum. hah.. simdi kim cikip "infinitesimal diye bir sey yok" diyebilir? Infinitesimalle hesap yapiliyor. Hatta bu kavram o kadar dogal ki türev onunla bulundu. (1950'lerde infinitesimallerle ciddi ciddi hesap yapabildigin sayi sistemleri gelistirildi. Robinson diye bir adam bunu yapan. http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ) Sonsuzluk kavrami ne kadar dogalsa infinitesimal kavrami da o kadar dogal. Ikisi icin de aksiyom yazinca oluyor yani. Matematikse matematik.
Sonsuzluk bize ögretildi. Dediler ki, bir sey böyle hic bitmemecesine uzayip giderse iste o sonsuz. Biz de "oldu" dedik. O yasta bize kim ne derse inaniyorduk zaten. Ve o inancimiz devam etti. Cünkü bir seye inanip onun üzerine bir sürü sey insa edersen o inancindan vazgecmek istemezsin. Din gibi bir sey. Ailenden ögreniyorsun.
Ben 3-4 yaslarindayken 100 benim icin sosnuz gibi bir seydi. Dedemin 100'e kadar sayabildigini ögrenince inanamamistim. Dün gibi hatirliyorum. Cocuklugumdan hatirladigim cok az seyden biri. Dede sen 100'e kadar sayabilir misin demistim. Evet demisti. Hic beklemiyordum evet cevabini. Say demistim saymamisti. Uzun süre süphe ettim bir insanin yüze kadar sayabileceginden.
Simdi, her sayidan daha büyük bir sayi olmasi gerektigi herkesin malumu. Bir uzayli da 1,2,3 diye sayilari tanimlayip her sayinin bir ardili vardir diyebilir.Ama buradan, "1'i iceren ve icerdigi her sayinin ardilini da iceren bir SEY"in varligi sonucu cikmiyor. Yani "1,2,3,..." diye bir sey var mi? Onu bence insanlik olarak biz uyduruyoruz. Neden olsun ki öyle bir sey? Kim nerede görmüs? 1'i "görüyoruz", 2'yi "görüyoruz".. Bir sekilde görüyoruz bunlari. Ama sonsuz üyesi olan bir nesneler toplulugu görmedim ben. Oldugunu da sanmiyorum.
Secim Beliti örnegin... Secim Beliti sonsuzluk kavramina dayanan bir belit. Bununla akla yatmayan bir cok sey kanitlanabiliyor. Yani mesela su kanitlaniyor: 3 boyutlu ortamda bir küreyi sonlu sayida parcaya ayirip sadece onlari döndürüp öteleyerek ayni boyda iki küre üretebiliyoruz. Olacak is degil! http://en.wikipedia.org/wiki/Banach–Tarski_paradox
Bence bunun kanitlanabildigi bir matematik sistemi, insan üretisi olmak zorunda. Kim dogada bir nesneyi parcalayip parcalarin yerlerini degistirerek ilk nesnenin iki kopyasini olusturabilir? Olmaz öyle sey. Sonsuzluk dogal bir kavramdir diyorsaniz iste sonucu bu!Sonsuzluk ne kadar dogalsa bu da o kadar dogal. Gelin de sonsuzlugun dogal bir kavram olduguna inanin simdi.
"Sonsuz" yerine "cok-büyük" ya da "extra-büyük" gibi bir laf kullansaydik her seyimiz farkli olacakti bence. Matematigimiz bambaska olacakti. "Sonsuz" dedik, isler sarpa sardi. Gödel bombayi birakti gitti ondan sonra iste böyle.
Bu "sonsuz" kavrami gibi bence "yokluk", "hiclik" kavramlari da bizim icadimiz. Olmayan seye nede isim koyuyorsun, degil mi? Insanoglu iste.
tibet

--- On Wed, 6/30/10, Metin Odun <metamaths at gmail.com> wrote:

From: Metin Odun <metamaths at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "Kerem Altun" <kerem.altun at gmail.com>, "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, June 30, 2010, 12:04 AM

"Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan yaratisi oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk kavraminin...

Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim uydurdugumuz bir sey."

Burada ilginç bir derinlik var. Matematik icat mı keşif mi, tartışması çok sıktığından mıdır, matematiğin bazı konularının icat bazı konularının keşif olabileceğini iddia etmek ve buna inanmak. Tibet, doğal sayıların insan yaratısı olduğunu düşünüyorsun. Bunun sebebini de yazsaydın ya. Tartışma olsun diye mi yazdın sebepsiz olarak? Abi bir şeyin insanın uydurduğu bir şey olup olmadığını nasıl anlayacağız? 

Karşılıklı iki düzlem aynada sonsuz tane görüntü oluşuyor. Aynayı insan yaptı. Ama insan olmasaydı iki ayna arasında sonsuz tane görüntü olmayacak mıydı yani? Tamam, insan olmasaydı fiziksel olarak elle tutulabilecek bir ayna olmayacaktı ama ayna diye bir gerçeklik olacaktı. İdealar dünyası mı ne... Kaldı ki karşılıklı iki şelale de ayna görevi görür. Yani insan olmasa da ayna dediğimiz şey olacaktı aslında bir anlamda.

Buraya kadar iyi anlatamadıysam anlatmak istediğimi yine bir soruyla anlatmaya çalışayım. Ama anlatamayacağımı hissediyorum.

İnsan olmasaydı doğal sayılar olmayacak mıydı yani? Sen bunu diyorsun Tibet, sen diyorsun ki doğal sayılar insan yaratısıdır. Yani insan olmasaydı doğal sayılar olamazdı diyorsun. Abi koyunların sayılar teorisi yapamayacağını nerden biliyoruz? Allah bilir Gödel bir koyundu. Ne bileyim ben. İnsan sayıları bulmuşmuş. 

Bence marsta da matematik var ve oradaki canlılar bizden çok önce sayıları buldu. Yani sayılar insan yaratısı değil marstaki canlıların yaratısı(..) 

Bence bu tartışmada iş zor. Matematik matematik dışı nesneleri tartışmada çok ama çok yetersiz kalıyor. Matematiğin kendisi mesela matematiğin, ya da sayıların diyelim, icat mı keşif mi, insan yaratısı mı tavukların yaratısı mı olduğu hakkında bir harf ama bir harf bile söyleyemez. Ve korkarım matematiksel önermelerin doğrulukları haricindeki tüm ama tüm tartışmalar görecelidir. Yani tartıştığımız herhangi bir şey eğer matematiksel bir önermenin doğruluğu değilse bu tartışmada doğrunun ne olduğunu belirlemek mümkün değil çünkü doğrunun ne olduğu konusunda uzlaşmak için elimizde bir referans olmuyor (Tüm dünyadaki insanların uzlaşabilecekleri bir referanstan bahsediyorum burada.) Yani mesela dini bir konuyu tartışıyoruz diyelim. Bazısı Tevrat'a inanır bazısı Kur'an'a. Mesela, tüm dünya Tevrat'a inansa deriz ki bu doğru bu yanlış. Matematikte bunu diyebiliyoruz ama. Şimdiye
 kadar bazı matematikçilerin doğru olduğuna inandığı bazılarının ise yanlış olduğuna inandığı bir teorem yoktur. Bazı konjektürler üzerinde tartışmalar olabilir. Bazı teorilerle ilgili fikirler olabilir. Bir teorinin gelişim aşamasındaki tartışmalar vs. Bunları kastetmiyorum. Yani boru gibi doğru olan bir teoreme kalkıp da bir matematikçi yanlış demez. Dese de geyiğine der, vs.

Matematik zor ama güzel.

29 Haziran 2010 15:32 tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> yazdı:

Benim söyledigim sey yanlis anlasilmis.

Ben 1,2,3 gibi "dogal sayilar"in insan zihnine özel kavramlar oludugunu düsünmüyorum.Cünkü örnegin fareler 7'ye kadar sayabiliyorlar. Demek ki farenin kafasinda bile sayi kavrami gördügü seylerden bagimsiz olarak var. 

(Bunun deneyi söyle yapiliyor: yan yana tüneller diziyorlar. tünellerden belli birinin sonuna peynir koyuyorlar. Ama diyelim hep 6. tünelin sonuna... Fare tek tek tünellere girip peynir orada mi diye bakiyor. Deney sürekli tekrarlaniyor ve peynir diyelim hep 6. tünele konuyor. Fare bir süre sonra diger tünellere bakmadan dogrudan 6. tünele girip peyniri yemeye basliyor. Tünellerin kapilarinin acildigi odanin seklini degistiriyorlar, tünellerin kapilarinin seklini, birbirlerinden uzakliklarini, tünellerin kokularini
 degistiriyorlar. Yani deney setindeki herseyi degistiriyorlar. Fare yine 6. tünele giriyor peyniri yiyor. (namissiz). 7'de de yapiyor bunu ama 8 olunca yapamiyor. Ama diyelim 13 tünelli bir deneyde bu sefer sagdan tünel kapilarini sayip sagdan 6. kapiya girerek 8. kapiya girmis oluyor. Yani fare deyip gecmeyin. 
Bunu "Through our Eyes Only" diye bir kitap var, orada okumustum, cok sahane bir kitap.)

Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan yaratisi oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk kavraminin...

Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim uydurdugumuz bir sey.
tibet

--- On Tue, 6/29/10, Kerem Altun
 <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "ozgur baskaya" <baskaya_ozgur at yahoo.com>
Cc: "Matematik Dünyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>

Date: Tuesday, June 29, 2010, 12:17 PM

Ufak bir ekleme yapmak istiyorum. Dogada ses cikartan hicbirsey, aslinda tek bir frekansta titresmez. Yani temel frekansin (ing. fundamental frequency) tek bir reel sayiya esit oldugu durumlar ancak teoride mumkundur. "Temel ses tonunun frekansi 100 Hz olsun" dediginizde aslinda diger frekanslardaki (cok kucuk) titresimleri ihmal ederek bunu yapiyorsunuz.

Tabii bu yazdiklarim dogal sayilar dogada yoktur manasina gelmez. Sesi frekans bilesenlerine ayirdiginizda en baskin bilesen 100 Hz'deyken 200, 300, 400 ... Hz'lerde de cok baskin bilesenler oldugu bir gercek. Ama zaten bir agactaki elmalari da 1, 2, 3, ... diye sayabiliyoruz, bu bile yeterli bir arguman gibi geliyor bana. Ismiyle musemma, "dogal" sayi!

Kerem

2010/6/29 ozgur baskaya <baskaya_ozgur at yahoo.com>

Sayın Üyeler,

geçenlerdeki bazı farklı iletilerde adı geçen iki değişik konu ile
"doğal sayıların insan ürünü gelmesi" şüphesini taşıyan en son iletiyi  
ilintilendirerek bir fikrimi paylaşmak istiyorum:

Geçende listede alman Kronecker'in meşhur bir sözü hatırlatıldı; 
ilk bakışta iki parçalı olarak görünen bir tez... Orjinali:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere 
ist Menschenwerk".

Türkçesi:
"Tamsayıları Tanrı yarattı; diğer herşey insan(ın) eseri."
("Tanrı tamsayıları yarattı" değil aslında; nüansa dikkat!)

Gelelim ilintilendirdiğim ikinci konuya: 
Sayın Değirmencioğlu Sinüs dalgalarının tartışıldığı bir iletisinde
"Harmonikler" konusundan bahsetmiş. Sanıyorum bu konu Akustik
bilimindeki "ses"in harmonikleri ile analojik eşdeğerde. 
(Yanılıyorsam lütfen düzeltsin kendileri.) 

Ben yukarıdaki tezin 1.parçasının üzerine şu örnekle bir yorum
yapılabilir olduğunu düşünürüm: 

Ses, hepimizin bildiği gibi, kaynağında oluştuktan sonra bilumum 
özellikler taşıyan dalgalar halinde bir medyumda ilerler. 

Doğal bir sesin temel (baz) dalgası vardır ki belli bir frekansta olsun.
Buna "temel ses tonu" diyelim.

Sentetik olarak üretilmeyen, doğada oluşan "her" sesin 
temel ses tonunun yanında sonsuz sayıda "armonikleri" vardır 
(ben başındaki "h" harfini kullanmıyorum). Bunlar bir nevi o sesin 
bileşenleridir. Nasıl ki -örneğin- herhangi bir Taylor serisini
olustururken 1. seri elemanının ardında sonsuz adet diğerleri
sıralanıyorsa, bu armonikler de o doğal sesin bileşenleridir.
Temel ses tonunun şiddeti (yani dalgasının amplitüdü) en yüksek
olandır ve bu şiddet diğer bileşenlerde belli şekilde düşer.

Ve gelelim benim açımdan en can alıcı noktaya ki doğal sayıların
insan ürünü olmadığının bence en açık kanıtlarından biridir:

Temel ses tonu 1.ton olsun, örneğin frekansı 100 Hz olsun. Diğer 
bileşenlerin ses tonları 2., 3., 4., ... diye numaralandırılsın. 
2. bileşen ses tonunun frekansı temel tonun tam tamına 2 katıdır (200 Hz);

3.sü tam 3 katı (300 Hz) ve 4. olan tam 4 katı (400 Hz) diye devam eder. 
Doğal olarak her bir sonra gelen bileşenin dalga amplitüdü giderek alçalır 
ve daha az duyulur hale gelir ama teorik olarak sıfır değerini almaz.

Ben bu konuya, ingilizcesi Overtone Singing, Almancası Oberton-Gesang
diye bilinen, özellikle Tuva (bir Türkî Cumhuriyet) ve Moğolistan'da 
çocuk yaşlardan itibaren uygulanan bir şarkı söyleme türüyle
ilgilenmeye başladığımda hayran kalmıştım. 

Benim açımdan "tam sayıların" (burada "doğal sayılar" diye vurgulamak
daha doğru olur kanımca, çünkü negatif değerlerden söz etmiyoruz) 
doğada kesinlikle var olduğunun kanıtıdır bu örnek. Daha başka örnekler 
tabii ki bulunabilir ama çarpıcılık açısından en sevdiğim örnektir. 

Dikkat edin, burada sayma kavramından bahsetmiyoruz. Doğa kendiliğinden
oranlıyor, hem de tam tamında doğal sayı katlarıyla. Bu doğal sayı katlar 
temel ses tonunu referans alır, yani ona oranlanır. Sayarken 1, 2, 3 diye
saymak başka, oranlarken 1 katı, 2 katı, 3 katı diye oranlamak başka şeyler
ki doğa yapıyor bu oranlamayı; biz insanoğlu değil. Bize "sadece" keşfetmek 
düşmüş. 

Zaten yine meşhur bir kişiliğin "Herşey Görecedir! (Alles ist relativ!)"
sözünden feyz almışlığım da vardır.

İleriki iletilerimde 3 doğal sayısının 2 doğal sayısına oranının doğada
ve dolayısıyla matematikte karşımıza çıktığı konuları sorgulamaya açmaya
niyetliyim. "Nedir bu 3/2 oranı?" diye soracağım yani...
 Saygılarımla 

Ö.B.

_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100629/a438933a/attachment.htm>