[MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler

Burak Kaya burakvonkaya at gmail.com
30 Haz 2010 Çar 13:48:12 EEST


Şimdi tutarlılık ile savunduğunuz şey arasındaki geçişi tam anlamadığımı 
söylemeliyim. Eğer derdiniz sadece bir şeylerin tutarlılığını kanıtlamak 
ise ZFC-sonsuzluk beliti+~sonsuzluk beliti teorisinin (yani bildiğimiz 
kümeler teorisinin "sonsuz" objeleri reddeden halinin) tutarlı olduğunu 
da *bu teorinin kendisi içerisinde* kanıtlayamazsınız (Gödel ile ilgili 
bir argümandan dolayı değil bu, teorinin kendisi sonsuz objelere izin 
vermiyor ama bir tutarlılık kanıtı yaptığınızda bir yerlerde sonsuz 
objeli bir nesneden söz etmek zorundasınız [çünkü ya bir modelin 
varlığından söz edeceksiniz ya da "sonsuz" tane cümlenin birbirleriyle 
çelişmeyeceğini direkt bir yolla kanıtlayacaksınız]. Gene de tam olarak 
bundan emin değilim). Tabi dip not olarak ekleyim, bu teorinin 
tutarlılığını ZFC içerisinde kanıtlamak mümkün.

Şimdi sonsuzluğun çok da "doğal" gözükmeyebileceğinin farkındayım (ha 
bana göre doğal o ayrı), hatta savunduğunuz felsefenin ("finitism" diye 
geçiyor, http://en.wikipedia.org/wiki/Finitism ) bir "okulu" bile var. 
Dolayısıyla kesin bir şekilde dediğiniz şeyleri reddedemeyeceğimin de 
farkındayım ama motivasyonlarınızın biraz eksik olduğunu düşünüyorum:

1'i görüyoruz, 2'yi görüyoruz demişsiniz. Size hiç bir zaman 
e^(e^(e^(e^(e^(e^1000))))) topluluğunu göremeyeceğinizi garanti 
edebilirim (zira evrendeki tahmini atom sayısından daha büyük bir sayı 
bu). O zaman böyle bir sayı yok diyecek misiniz? Bu görüşü de savunan 
(yani bir niceliğin varlığına dair bir şey söylerken "fiziksel" 
sınırları da göz önüne alan) bir akım var ( 
http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism ).

Yazdıklarınızdan anladığım kadarıyla "sayı" ve "sayma" kavramlarının 
doğal olduğunu düşünüyorsunuz. O zaman, "tüm doğal sayıların nitelediği 
niceliklerden daha büyük bir nicelik" kavramını sizin için imkansız 
yapan nedir?

--

Bu arada konudan biraz uzaklaşarak küçük bir ekleme yapmak istiyorum 
Gödel konusuna fazla takıldığınızı düşünerek. Gödel'in yaptığı işin 
matematiğe balta vurduğunu düşünmüyorum. Hatta Gödel'in teoremlerinin 
felsefi yorumlarda kullanılmasını -kusura bakmayın ama- biraz gereksiz 
buluyorum.

En temiz ifadesi ile Gödel, Th(N,+,*,0,1)'in, yani "bildiğimiz" doğal 
sayılar yapısında +,*,0 ve 1 sembolleri ile yazacağınız, ve burada doğru 
olan tüm cümlelerin, "düzgün" bir biçimde (yani neyin aksiyom olduğunu 
neyin aksiyom olmadığını anlayacak bir algoritma var olacak şekilde) 
aksiyomatize edemeyeceğinizi söylüyor. Buna "corollary" olarak da, 
metamatematiksel olguları aritmetiğin içerisine bir şekilde 
kodladığınızda, bu teorinin tutarlı olduğunu söyleyen cümlenin 
kanıtlanamaz bir şey olduğunu söylüyor. Ama Gödel'in teoremiyle 
çelişmeyen ve Peano aritmetiğinin tutarlı olduğunu söyleyen bir kanıt 
var: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_second_problem 
<http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_second_problem> / 
http://en.wikipedia.org/wiki/Gentzen's_consistency_proof 
<http://en.wikipedia.org/wiki/Gentzen%27s_consistency_proof>

Eğer "hesaplanabilirlik" umrunuzda değilse, Gödel'in birinci teoreminin 
aksini yapabilirsiniz, yani bu teorinin öyle bir aksiyomatizasyonu 
vardır ki, size doğal sayılardaki tüm doğru cümleleri kanıtlar ve 
tutarlıdır. Tabi neyin aksiyom olduğunu neyin aksiyom olmadığını 
anlamanın bir yolu olmadığı için böyle bir aksiyomatizasyon pratikte hiç 
bir işe yaramaz. Peki o zaman bize faydası ne? Eğer işe "felsefi" olarak 
bakacaksanız Gödel'in teoremlerini, "mantığın" kendi yapısından kaynaklı 
bir sorun olarak değil de, bir "hesaplanabilirlik" (computability) 
sorunu olarak görmeniz gerektiğini düşünüyorum. Bence Gödel'in teoremi 
-eğer bir sorun olarak görülecekse- durma probleminden (halting problem) 
daha fazla büyütülmesi gereken bir şey değil (hatta durma probleminin 
çözümsüz olması Gödel'in teoremini otomatik olarak kanıtlıyor, Turing'in 
de o ünlü makalesinde yaptığı şey tam olarak bu).

Burak.


> Iki ayna arasinda sonsuz görüntü olusmaz. Görüntüler giderek ufaliyor. Atom boyutunda görüntü olur mu? bir atomun 10^1000000'de biri boyutunda bir görüntü olur mu? Foton olayina kadar kücülüyor mesele. O boyutta düsününce bu sistemin sonlu oldugunu kavramak daha mümkün.
> Evren de "sonsuz" degil sanirim. Fizik hocamiz bize lisede söyle demisti: Dünyadan ayrilip tek bir yöne dogru hic yön degistirmeden giderseniz yeteri kadar gittiginizde karsiniza yine dünya cikarmis. (teorik olarak) Evrenin böyle kendi icine dogru dönen garip bir sekli varmis.Ben onun yalancisiyim tabi burada. Fizikten hic anlamam.
> Dogal sayilar kümesi neden "insan yaratisidir" diyorum? Cünkü sonsuz elemanli dogal sayilar kümesi isin icine girince onun varligini gösterebildigin aksiyom sistemlerinin tutarliligini kanitlayamiyorsun. Kanitlanamayacagi kanitlandi. Ama bu herhangi aksiyom sisteminin kendi icinde tutarliligi kanitlamanaz demek degil. Illa ki dogal sayilari, onlarin carpmasini ve toplamasini icermesini gerekiyor bu sistemin. Gödel'in eksiklik teoreminin kosulu bu.
> Infinitesimal diye bir kavram var biliyorsunuz. Sonsuz kücüklükte uzakliklar. Türev-integral hesabi gelistirilirken Newton'lar Leibniz'ler falan hep bu sonsuz ufakliktaki sayilarla düsündüler, hatta onlarla hesap yaptilar. Bu sonsuz kücüklükteki sayilarla türev-integral hesabini gelistirdiler. Daha o zamanlar epsilonlu yakinsama tanimi bile yoktu. Deltalar epsilonlar hep sonradan bu hesaplari saglam bir temele oturtmak icin cikti. Cikti da ne oldu, saglam temele oturdu mu? Oturmadi. (bizim tartismamiz) Ama matematikciler dayandiklari aksiyom sistemini basitlestirdikce onun dayanikliligina daha bir güvendiler.
> Neyse.. ne diyordum. hah.. simdi kim cikip "infinitesimal diye bir sey yok" diyebilir? Infinitesimalle hesap yapiliyor. Hatta bu kavram o kadar dogal ki türev onunla bulundu. (1950'lerde infinitesimallerle ciddi ciddi hesap yapabildigin sayi sistemleri gelistirildi. Robinson diye bir adam bunu yapan. http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis  <http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis%C2%A0>) Sonsuzluk kavrami ne kadar dogalsa infinitesimal kavrami da o kadar dogal. Ikisi icin de aksiyom yazinca oluyor yani. Matematikse matematik.
> Sonsuzluk bize ögretildi. Dediler ki, bir sey böyle hic bitmemecesine uzayip giderse iste o sonsuz. Biz de "oldu" dedik. O yasta bize kim ne derse inaniyorduk zaten. Ve o inancimiz devam etti. Cünkü bir seye inanip onun üzerine bir sürü sey insa edersen o inancindan vazgecmek istemezsin. Din gibi bir sey. Ailenden ögreniyorsun.
> Ben 3-4 yaslarindayken 100 benim icin sosnuz gibi bir seydi. Dedemin 100'e kadar sayabildigini ögrenince inanamamistim. Dün gibi hatirliyorum. Cocuklugumdan hatirladigim cok az seyden biri. Dede sen 100'e kadar sayabilir misin demistim. Evet demisti. Hic beklemiyordum evet cevabini. Say demistim saymamisti. Uzun süre süphe ettim bir insanin yüze kadar sayabileceginden.
> Simdi, her sayidan daha büyük bir sayi olmasi gerektigi herkesin malumu. Bir uzayli da 1,2,3 diye sayilari tanimlayip her sayinin bir ardili vardir diyebilir.Ama buradan, "1'i iceren ve icerdigi her sayinin ardilini da iceren bir SEY"in varligi sonucu cikmiyor. Yani "1,2,3,..." diye bir sey var mi? Onu bence insanlik olarak biz uyduruyoruz. Neden olsun ki öyle bir sey? Kim nerede görmüs? 1'i "görüyoruz", 2'yi "görüyoruz".. Bir sekilde görüyoruz bunlari. Ama sonsuz üyesi olan bir nesneler toplulugu görmedim ben. Oldugunu da sanmiyorum.
> Secim Beliti örnegin... Secim Beliti sonsuzluk kavramina dayanan bir belit. Bununla akla yatmayan bir cok sey kanitlanabiliyor. Yani mesela su kanitlaniyor: 3 boyutlu ortamda bir küreyi sonlu sayida parcaya ayirip sadece onlari döndürüp öteleyerek ayni boyda iki küre üretebiliyoruz. Olacak is degil! http://en.wikipedia.org/wiki/Banach–Tarski_paradox <http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox>
> Bence bunun kanitlanabildigi bir matematik sistemi, insan üretisi olmak zorunda. Kim dogada bir nesneyi parcalayip parcalarin yerlerini degistirerek ilk nesnenin iki kopyasini olusturabilir? Olmaz öyle sey. Sonsuzluk dogal bir kavramdir diyorsaniz iste sonucu bu!Sonsuzluk ne kadar dogalsa bu da o kadar dogal. Gelin de sonsuzlugun dogal bir kavram olduguna inanin simdi.
> "Sonsuz" yerine "cok-büyük" ya da "extra-büyük" gibi bir laf kullansaydik her seyimiz farkli olacakti bence. Matematigimiz bambaska olacakti. "Sonsuz" dedik, isler sarpa sardi. Gödel bombayi birakti gitti ondan sonra iste böyle.
> Bu "sonsuz" kavrami gibi bence "yokluk", "hiclik" kavramlari da bizim icadimiz. Olmayan seye nede isim koyuyorsun, degil mi? Insanoglu iste.
> tibet
>   
>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi