[MD-sorular] Ynt: Re: Doğal sayılar ve (h)armonikler

[dede]

Sayın Tibet Efendi

Bahsettiğiniz konuları “derinliğine” tartışıp,


değişik bakış/öneri/fikir üretecek düzeyde alt yapım
yok!


Sadece “avami (sıradan insan)” olarak şu
kadarını 


söyleyebilirim:Varsayalım ki matematiğimizin


temelleri çürük/bozuk/yanlış.Bilinen 5000 yıllık 


insanlık tarihinde,doğru modelleme yapıldığında


matematik bizleri hiç
“aldatmadı/yanıltmadı/yanlışa
sürüklemedi!


Bugün doğru modellenmiş;mikro/makro alemde 


hep onun rehberliğiyle “bir şeyleri
buluyor/üretiyoruz”.


Yani “pragmatist(yararcı)” açıdan,
işimizi mükemmel görüyor!


Korkmayın; matematiğimiz bir gün “ortadan
çatlamayacak”


çatlayacak bir yapısı olsaydı;5000 yıl boyunca bir
yerde


“falso” verirdi!ZFC gibi
“derin” konuları;varsın “meraklı
beyinler”


araştırsın,bu gereklidir.Ama sonucun
“pragmatik” açıdan 


etkisi olacağını “sanmıyorum!” Bu arada yeri
gelmişken,aklıma 


takılan bir noktayı da belirteyim:Gödel’in
kanıtlamaları
malum;


bir “babayiğit” de şunu kanıtlasa çok iyi
olacak.Matematiğin bugünkü 



yapısı içinde “şu,şu
özelliklere sahip aksiyomlar/ön savlar(theorem)/


varsayımlar(conjucture)”
kanıtlanamaz!Böylece,örneğin bir Goldbach


varsayımına kimse kafa yormaz;böylece rahat ederdik!


Kolaylıklar/sağlıklı günler dilerim


A.Kadir Değirmencioğlu




----- Özgün İleti -----
Kimden : "tibet efendi" 
Kime : "Metin Odun" ,"Matematik Dunyasi"

Gönderme tarihi : 30/06/2010 3:50
Konu : Re: [MD-sorular]Doğal sayılar ve (h)armonikler
Sunu tekrar edeyim: Ben dogal sayilar derken bütün dogal
sayilari iceren kümeden bahsediyorum, tek tek dogal sayilardan
degil.Sonsuzluk kavrami, bu kümenin varligina inandigimiz anda
basliyor. O yüzden yaptigim "sonsuzluk" tartismasi "dogal sayilar
kümesinin varligi" tartismasindan baska bir sey degil.
Kümeler teorisi tam bir aldatmaca bence. (Oysa eskiden kümeler
teorisinin matematigin en saf, en temiz, en güzel dali oldugunu
düsünürdüm. ZFC'yi bilmeyen matematikci bence matematikciden
sayilmamaliydi.)
Sen hic, bir uzayliya, sonsuz elemanli bir kümeden bahsettin mi
Metin? Inan ki cok zor.
tibet


--- On Wed, 6/30/10, tibet efendi
<tibetefendi at yahoo.com> wrote:

From: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "Metin Odun" <metamaths at gmail.com>, "Matematik Dunyasi"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, June 30, 2010, 2:27 AM

Iki ayna arasinda sonsuz görüntü
olusmaz. Görüntüler giderek ufaliyor. Atom boyutunda görüntü olur mu? bir
atomun 10^1000000'de biri boyutunda bir görüntü olur mu? Foton olayina
kadar kücülüyor mesele. O boyutta düsününce bu sistemin sonlu oldugunu
kavramak daha mümkün.
Evren de "sonsuz" degil sanirim. Fizik hocamiz bize lisede
söyle demisti: Dünyadan ayrilip tek bir yöne dogru hic yön degistirmeden
giderseniz yeteri kadar gittiginizde karsiniza yine dünya cikarmis.
 (teorik olarak) Evrenin böyle kendi icine dogru dönen garip bir sekli
varmis.Ben onun yalancisiyim tabi burada. Fizikten hic
anlamam.
Dogal sayilar kümesi neden "insan yaratisidir" diyorum? Cünkü
sonsuz elemanli dogal sayilar kümesi isin icine girince onun varligini
gösterebildigin aksiyom sistemlerinin
 tutarliligini kanitlayamiyorsun. Kanitlanamayacagi kanitlandi. Ama bu
herhangi aksiyom sisteminin kendi icinde tutarliligi kanitlamanaz demek
degil. Illa ki dogal sayilari, onlarin carpmasini ve toplamasini
icermesini gerekiyor bu sistemin. Gödel'in eksiklik teoreminin kosulu
bu.
Infinitesimal diye bir kavram var biliyorsunuz. Sonsuz
kücüklükte uzakliklar. Türev-integral hesabi gelistirilirken Newton'lar
Leibniz'ler falan hep bu sonsuz ufakliktaki sayilarla düsündüler, hatta
onlarla hesap yaptilar. Bu sonsuz kücüklükteki sayilarla türev-integral
hesabini gelistirdiler. Daha o zamanlar epsilonlu yakinsama tanimi bile
yoktu. Deltalar epsilonlar hep sonradan bu hesaplari saglam bir temele
oturtmak icin cikti. Cikti da ne oldu, saglam temele oturdu mu? Oturmadi.
(bizim tartismamiz) Ama matematikciler dayandiklari aksiyom sistemini
basitlestirdikce onun dayanikliligina daha bir
 güvendiler.
Neyse.. ne diyordum. hah.. simdi kim cikip "infinitesimal diye
bir sey yok" diyebilir? Infinitesimalle hesap yapiliyor. Hatta bu kavram o
kadar dogal ki türev onunla bulundu. (1950'lerde infinitesimallerle ciddi
ciddi hesap yapabildigin sayi sistemleri gelistirildi. Robinson diye bir
adam bunu yapan. http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis )
Sonsuzluk kavrami ne kadar dogalsa infinitesimal kavrami da o kadar dogal.
Ikisi icin de aksiyom yazinca oluyor yani. Matematikse
matematik.
Sonsuzluk bize ögretildi. Dediler ki, bir sey böyle hic
bitmemecesine uzayip giderse iste o sonsuz. Biz de "oldu" dedik. O yasta
bize kim ne derse inaniyorduk zaten. Ve o inancimiz devam etti. Cünkü bir
seye inanip onun üzerine bir sürü sey insa edersen o inancindan vazgecmek
istemezsin. Din
 gibi bir sey. Ailenden
 ögreniyorsun.
Ben 3-4 yaslarindayken 100 benim icin sosnuz gibi bir seydi.
Dedemin 100'e kadar sayabildigini ögrenince inanamamistim. Dün gibi
hatirliyorum. Cocuklugumdan hatirladigim cok az seyden biri. Dede sen
100'e kadar sayabilir misin demistim. Evet demisti. Hic beklemiyordum evet
cevabini. Say demistim saymamisti. Uzun süre süphe ettim bir insanin yüze
kadar sayabileceginden.
Simdi, her sayidan daha büyük bir sayi olmasi gerektigi
herkesin malumu. Bir uzayli da 1,2,3 diye sayilari tanimlayip her sayinin
bir ardili vardir diyebilir.Ama buradan, "1'i iceren ve
icerdigi her sayinin ardilini da iceren bir SEY"in varligi sonucu
cikmiyor. Yani "1,2,3,..." diye bir sey var mi? Onu bence insanlik olarak
biz uyduruyoruz. Neden olsun ki öyle bir sey? Kim nerede görmüs? 1'i
"görüyoruz", 2'yi "görüyoruz".. Bir sekilde görüyoruz bunlari. Ama sonsuz
üyesi olan bir
 nesneler toplulugu görmedim ben. Oldugunu da sanmiyorum.
Secim Beliti örnegin... Secim Beliti sonsuzluk kavramina
dayanan bir belit. Bununla akla yatmayan bir cok sey kanitlanabiliyor.
Yani mesela su kanitlaniyor: 3 boyutlu ortamda bir küreyi sonlu sayida
parcaya ayirip sadece onlari döndürüp öteleyerek ayni boyda iki küre
üretebiliyoruz. Olacak is degil! http://en.wikipedia.org/wiki/Banachâ��Tarski_paradox
Bence bunun kanitlanabildigi bir matematik sistemi, insan
üretisi olmak zorunda. Kim dogada bir nesneyi parcalayip parcalarin
yerlerini degistirerek ilk nesnenin iki kopyasini olusturabilir? Olmaz
öyle sey. Sonsuzluk dogal bir kavramdir diyorsaniz iste sonucu
bu!Sonsuzluk ne kadar dogalsa bu da o kadar dogal. Gelin de
sonsuzlugun dogal bir kavram olduguna inanin
 simdi.
"Sonsuz"
 yerine "cok-büyük" ya da "extra-büyük" gibi bir laf kullansaydik her
seyimiz farkli olacakti bence. Matematigimiz bambaska olacakti. "Sonsuz"
dedik, isler sarpa sardi. Gödel bombayi birakti gitti ondan sonra iste
böyle.
Bu "sonsuz" kavrami gibi bence "yokluk", "hiclik" kavramlari da
bizim icadimiz. Olmayan seye nede isim koyuyorsun, degil
mi? Insanoglu iste.
tibet









--- On Wed, 6/30/10, Metin Odun <metamaths at gmail.com>
wrote:

From: Metin Odun <metamaths at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "Kerem Altun"
 <kerem.altun at gmail.com>, "Matematik Dunyasi"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, June 30, 2010, 12:04 AM

"Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar
kümesi"nin insan yaratisi oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk
kavraminin...

Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan
yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim
uydurdugumuz bir sey."

Burada ilginç bir
derinlik var. Matematik icat mı keşif mi, tartışması çok sıktığından
mıdır, matematiğin bazı konularının icat bazı konularının keşif
olabileceğini iddia etmek ve buna inanmak. Tibet, doğal sayıların insan
yaratısı olduğunu düşünüyorsun. Bunun sebebini de yazsaydın ya. Tartışma
olsun diye mi yazdın sebepsiz olarak? Abi bir şeyin insanın uydurduğu bir
şey olup olmadığını nasıl anlayacağız? 

Karşılıklı iki düzlem
aynada sonsuz tane görüntü oluşuyor. Aynayı insan yaptı. Ama insan
olmasaydı iki ayna arasında sonsuz tane görüntü olmayacak mıydı yani?
Tamam, insan olmasaydı fiziksel olarak elle tutulabilecek bir ayna
olmayacaktı ama ayna diye bir gerçeklik olacaktı. İdealar dünyası mı ne...
Kaldı ki karşılıklı iki şelale de ayna görevi görür. Yani insan olmasa da
ayna dediğimiz şey olacaktı aslında bir anlamda.

Buraya kadar iyi
anlatamadıysam anlatmak istediğimi yine bir soruyla anlatmaya çalışayım.
Ama anlatamayacağımı hissediyorum.

İnsan olmasaydı doğal
sayılar olmayacak mıydı yani? Sen bunu diyorsun Tibet, sen diyorsun ki
doğal sayılar insan yaratısıdır. Yani insan olmasaydı doğal sayılar
olamazdı diyorsun. Abi koyunların sayılar teorisi yapamayacağını nerden
biliyoruz? Allah bilir Gödel bir koyundu. Ne bileyim ben. İnsan sayıları
bulmuşmuş. 

Bence marsta da
matematik var ve oradaki canlılar bizden çok önce sayıları buldu. Yani
sayılar insan yaratısı değil marstaki canlıların
yaratısı(..) 

Bence bu tartışmada iş
zor. Matematik matematik dışı nesneleri tartışmada çok ama çok yetersiz
kalıyor. Matematiğin kendisi mesela matematiğin, ya da sayıların diyelim,
icat mı keşif mi, insan yaratısı mı tavukların yaratısı mı olduğu hakkında
bir harf ama bir harf bile söyleyemez. Ve korkarım matematiksel
önermelerin doğrulukları haricindeki tüm ama tüm tartışmalar görecelidir.
Yani tartıştığımız herhangi bir şey eğer matematiksel bir önermenin
doğruluğu değilse bu tartışmada doğrunun ne olduğunu belirlemek mümkün
değil çünkü doğrunun ne olduğu konusunda uzlaşmak için elimizde bir
referans olmuyor (Tüm dünyadaki insanların uzlaşabilecekleri bir
referanstan bahsediyorum burada.) Yani mesela
 dini bir konuyu tartışıyoruz diyelim. Bazısı Tevrat'a inanır bazısı
Kur'an'a. Mesela, tüm dünya Tevrat'a inansa deriz ki bu doğru bu yanlış.
Matematikte bunu diyebiliyoruz ama. Şimdiye kadar bazı matematikçilerin
doğru olduğuna inandığı bazılarının ise yanlış olduğuna inandığı bir
teorem yoktur. Bazı konjektürler üzerinde tartışmalar olabilir. Bazı
teorilerle ilgili fikirler olabilir. Bir teorinin gelişim aşamasındaki
tartışmalar vs. Bunları kastetmiyorum. Yani boru gibi doğru olan bir
teoreme kalkıp da bir matematikçi yanlış demez. Dese de geyiğine der,
vs.

Matematik zor ama
güzel.


29 Haziran 2010 15:32 tarihinde
tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> yazdı:

Benim söyledigim sey yanlis anlasilmis.

Ben 1,2,3 gibi "dogal sayilar"in insan zihnine özel kavramlar
oludugunu düsünmüyorum.Cünkü örnegin fareler 7'ye kadar
sayabiliyorlar. Demek ki farenin kafasinda bile sayi kavrami gördügü
seylerden bagimsiz olarak var. 

(Bunun deneyi söyle yapiliyor: yan yana tüneller diziyorlar.
tünellerden belli birinin sonuna peynir koyuyorlar. Ama diyelim hep 6.
tünelin sonuna... Fare tek tek tünellere girip peynir orada mi diye
bakiyor. Deney sürekli tekrarlaniyor ve peynir diyelim hep 6. tünele
konuyor. Fare bir süre sonra diger tünellere bakmadan dogrudan 6. tünele
girip peyniri yemeye basliyor. Tünellerin kapilarinin acildigi odanin
seklini degistiriyorlar, tünellerin kapilarinin seklini, birbirlerinden
uzakliklarini, tünellerin kokularini
 degistiriyorlar. Yani deney setindeki herseyi degistiriyorlar. Fare yine
6. tünele giriyor peyniri yiyor. (namissiz). 7'de de
yapiyor bunu ama 8 olunca yapamiyor. Ama diyelim 13 tünelli bir deneyde
bu sefer sagdan tünel kapilarini sayip sagdan 6. kapiya girerek 8. kapiya
girmis oluyor. Yani fare deyip gecmeyin. 
Bunu "Through our Eyes Only" diye bir kitap var, orada okumustum, cok
sahane bir kitap.)

Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan
yaratisi oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk
kavraminin...

Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum.
Insan yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey.
Bizim uydurdugumuz bir sey.
tibet




--- On Tue, 6/29/10, Kerem Altun
 <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "ozgur baskaya" <baskaya_ozgur at yahoo.com>
Cc: "Matematik Dünyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>

Date: Tuesday, June 29, 2010, 12:17 PM

Ufak bir ekleme yapmak istiyorum. Dogada ses cikartan hicbirsey,
aslinda tek bir frekansta titresmez. Yani temel frekansin (ing.
fundamental frequency) tek bir reel sayiya esit oldugu durumlar ancak
teoride mumkundur. "Temel ses tonunun frekansi 100 Hz olsun" dediginizde
aslinda diger frekanslardaki (cok kucuk) titresimleri ihmal ederek bunu
yapiyorsunuz.



Tabii bu yazdiklarim dogal sayilar dogada yoktur manasina gelmez. Sesi
frekans bilesenlerine ayirdiginizda en baskin bilesen 100 Hz'deyken 200,
300, 400 ... Hz'lerde de cok baskin bilesenler oldugu bir gercek. Ama
zaten bir agactaki elmalari da 1, 2, 3, ... diye sayabiliyoruz, bu bile
yeterli bir arguman gibi geliyor bana. Ismiyle musemma, "dogal" sayi!



Kerem



2010/6/29 ozgur baskaya <baskaya_ozgur at yahoo.com>







Sayın Üyeler,
 
geçenlerdeki bazı farklı iletilerde adı geçen iki değişik konu
ile
"doğal sayıların insan ürünü gelmesi" şüphesini taşıyan en son
iletiyi  
ilintilendirerek bir fikrimi paylaşmak istiyorum:
 
Geçende listede alman Kronecker'in meşhur bir sözü hatırlatıldı;

ilk bakışta iki parçalı olarak görünen bir tez...
Orjinali:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere 
ist Menschenwerk".


Türkçesi:
"Tamsayıları Tanrı yarattı; diğer herşey insan(ın) eseri."
("Tanrı tamsayıları yarattı" değil aslında; nüansa dikkat!)
 
Gelelim ilintilendirdiğim ikinci konuya: 
Sayın Değirmencioğlu Sinüs dalgalarının tartışıldığı bir
iletisinde
"Harmonikler" konusundan bahsetmiş. Sanıyorum bu konu
Akustik
bilimindeki "ses"in harmonikleri ile analojik
eşdeğerde. 
(Yanılıyorsam lütfen düzeltsin kendileri.) 
 
Ben yukarıdaki tezin 1.parçasının üzerine şu örnekle bir yorum
yapılabilir olduğunu düşünürüm: 
 
Ses, hepimizin bildiği gibi, kaynağında oluştuktan sonra bilumum

özellikler taşıyan dalgalar halinde bir medyumda ilerler. 
 
Doğal bir sesin temel (baz) dalgası vardır ki belli bir
frekansta olsun.
Buna "temel ses tonu" diyelim.
 
Sentetik olarak üretilmeyen, doğada oluşan "her" sesin 
temel ses tonunun yanında sonsuz sayıda "armonikleri" vardır 
(ben başındaki "h" harfini kullanmıyorum). Bunlar bir nevi o sesin 
bileşenleridir. Nasıl ki -örneğin- herhangi bir Taylor serisini
olustururken 1. seri elemanının ardında sonsuz adet diğerleri
sıralanıyorsa, bu armonikler de o doğal sesin bileşenleridir.
Temel ses tonunun şiddeti (yani dalgasının amplitüdü) en
yüksek
olandır ve bu şiddet diğer bileşenlerde belli
şekilde düşer.
 
Ve gelelim benim açımdan en can alıcı noktaya ki doğal
sayıların
insan ürünü olmadığının bence en açık kanıtlarından biridir:
 
Temel ses tonu 1.ton olsun, örneğin frekansı 100 Hz olsun. Diğer 
bileşenlerin ses tonları 2., 3., 4., ... diye numaralandırılsın. 
2. bileşen ses tonunun frekansı temel tonun tam tamına 2 katıdır (200
Hz);


3.sü tam 3 katı (300 Hz) ve 4. olan tam 4 katı (400 Hz) diye devam
eder. 
Doğal olarak her bir sonra gelen bileşenin dalga amplitüdü giderek alçalır

ve daha az duyulur hale gelir ama teorik olarak sıfır değerini
almaz.


 
Ben bu konuya, ingilizcesi Overtone Singing, Almancası
Oberton-Gesang
diye bilinen, özellikle Tuva (bir Türkî Cumhuriyet) ve
Moğolistan'da 
çocuk yaşlardan itibaren uygulanan bir şarkı söyleme
türüyle
ilgilenmeye başladığımda hayran kalmıştım. 
 
Benim açımdan "tam sayıların" (burada "doğal sayılar" diye
vurgulamak
daha doğru olur kanımca, çünkü negatif değerlerden söz etmiyoruz)

doğada kesinlikle var olduğunun kanıtıdır bu örnek. Daha başka
örnekler 
tabii ki bulunabilir ama çarpıcılık açısından en sevdiğim örnektir.

 
Dikkat edin, burada sayma kavramından bahsetmiyoruz. Doğa
kendiliğinden
oranlıyor, hem de tam tamında doğal sayı katlarıyla. Bu doğal sayı
katlar 
temel ses tonunu referans alır, yani ona oranlanır. Sayarken 1, 2, 3
diye
saymak başka, oranlarken 1 katı, 2 katı, 3 katı diye oranlamak
başka şeyler
ki doğa yapıyor bu oranlamayı; biz insanoğlu değil. Bize
"sadece" keşfetmek 
düşmüş. 
 
Zaten yine meşhur bir kişiliğin "Herşey Görecedir! (Alles ist
relativ!)"
sözünden feyz almışlığım da vardır.
 
İleriki iletilerimde 3 doğal sayısının 2 doğal sayısına oranının
doğada
ve dolayısıyla matematikte karşımıza çıktığı konuları sorgulamaya
açmaya
niyetliyim. "Nedir bu 3/2 oranı?" diye soracağım yani...
 Saygılarımla 
 
Ö.B.
 
 
 
 

_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



      
_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular





      


      _______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


	
		İngilizce seviyenizi ücretsiz test edebilirsiniz. Tıklayınız
	

 
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100630/9537bab8/attachment.htm>