[MD-sorular] Karışım

[Gorkem Ozkaya]

n cevrim sonunda A kabindaki *bugday unu* miktarina  a_n,  B kabindaki
*bugday unu* miktarina da  b_n diyelim.   a_0 , ve b_0 da kaplardaki
baslangictaki bugday unu miktarlari olsun, yani ornegimiz icin a_0 = 2 ve
b_0 = 0.

Once a_n ve b_n'i bildigimizi varsayip a_{n+1} ve b_{n+1}'i elde etmeye
calisalim: A kabindaki unun yarisini B kabina aktariyoruz.  Karisim homojen
oldugu icin bugday ununun da yarisini almis oluruz.  Yani ilk once B
kabindaki bugday unu miktari a_n/2 kadar artiyor, A kabinda da a_n/2 kadar
kaliyor.   Ikinci asamada B kabindaki tum unun yarisini A kabina geri
gonderiyoruz.  Bugday ununun da yarisi gitmis olur.  Bunlari denkleme
dokersek:

b_{n+1} = (1/2)(b_n + (1/2)a_n)
a_{n+1} = (1/2)a_n + b_{n+1}

Birinci denklemdeki b_{n+1}'i ikinci denklemde yerine yazip duzenlersek:

a_{n+1}  = (3/4)a_n + (1/2)b_n (*)  elde edilir.

Ayrica toplam bugday unu miktari hep 2 oldugu icin
a_n + b_n = 2 olur; yani b_n = 2 - a_n.   Bunu (*) denklemine yazip
duzenlersek, cozmemiz gereken denklemin

a_{n+1} = 1 + (1/4)a_n,
a_0 = 2

oldugunu goruruz.

Ilk birkac terimini a_0 cinsinden yazalim:

a_1 = 1 + (1/4)a_0
a_2 = 1 + (1/4) + (1/4)^2(a_0)
a_3 = 1 + (1/4) + (1/4)^2 + (1/4)^3(a_0)

Buradan tumevarimla gosterebiliriz ki

a_n = 1 + (1/4) + (1/4)^2 + ... + (1/4)^{n-1} + (1/4)^n a_0 olur.

a_0 = 2 alarak geometrik dizi kismi toplamini hesaplayip duzenlersek

a_n = 4/3 + (2/3)(1/4)^n  bulunur.  Bu n cevrim sonra A kabindaki bugday unu
miktarini verir.  Diger miktarlar buradan kolayca elde edilebilir.


2010/5/26 dede <dede_47 at mynet.com>

> Değerli Üyeler,
> Bir lise öğrencisi sordu,kolay sandım;
> ama uğraştıkça karıştırdım.Bunaldım ve
> "Pes!" ettim; sonunda sizlere sormaya karar verdim.
> Soru şu:A kabında 2 birim buğday unu,
> B kabında 1 birim arpa unu vardır.Elimizde
> 1 birimlik bir ölçek(kab) var.Önce bu ölçeği A
> kabından buğday unuyla doldurup B kabına boşaltıyoruz;
> eş dağılım (homogenously) sağlanıncaya kadar B kabını
> karıştırıyoruz;sonra da B kabında ki karışımdan bir ölçek doldurup
> A kabına boşaltıyoruz.(Her doldurma/boşaltma işleminde
> eş dağılım sağlanıncaya kadar karıştırma işlemini yapıyoruz)
> Bu işleme "N çevrim" devam ettiğimiz takdirde;N çevrimin
> sonunda, A ve B kablarında ki buğday ve arpa unu
> miktarı nedir?
> Not:A kabından B kabına, B kabından A kabına 1 kere
> doldurup/boşaltma işlemi " 1 çevrim" kabul edilecek.
> Problemi genellemeye çalıştım;onu hiç çözemedim.
> Saygılarımla...
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> ------------------------------
>  Herkesin zevkle oynadığı oyunlar burada! Araba yarışları, Barbie oyunları,
> savaş oyunları ve daha fazlası için hemen tıklayın!
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=49367&url=http://www.oyunda.com>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100527/8a2c939d/attachment.htm>