[MD-sorular] Ynt: Re: Karışım

dede dede_47 at mynet.com
27 Mayıs 2010 Per 13:21:09 EEST


Sayın Görkem Özkaya;
Öncelikle sorumla ilgilendiğiniz için teşekkür ederim.
Ben bu soruyla uğraşırken aşağıda ki rakamlı tabloyu yapmıştım:
-----------------------------------------------------------------------




N         0          
1        
         2                   3        
                  4         
       
                              


A     
(2,0)  
(3/2,1/2)   (11/8,5/8)   (43/32,21/32)   (171/128,85/128)


B      (0,1)  
(1/2,1/2)    (5/8,3/8)   
(21/32,11/32)   
(85/128,43/128)
-----------------------------------------------------------------------

(Tabloda; N, çevrimi, A ve B'nin nın karşısındaki
ayraç içinde ilk rakamlar
buğday unu, ikinci rakamlar ise arpa unu miktarını
göstermektedir.
Ama bu tabloyu, denklem haline bir türlü
dönüştüremedim.)
Sizin A kabında ki buğday ununu veren son
eşitliğiniz, N=0,1,2,3,4 için
tabloda benim siyahladığım rakamları aynen
verdiğinden, çözümünüz doğrudur.
Sizin de belirttiğiniz gibi A kabındaki arpa ve B
kabında ki buğday/arpa unu
miktarı(toplamları belli olduğundan) kolayca
bulunabilir.Çözümünüzün bence 

en güzel tarafı ise "genel hali" de içermiş
olmasıdır. Zira, son durumda 

a_0=M; b_0=K dersek, genel hale geçmiş oluyoruz. Bu
durumda çözülecek 

denklemden genel hal için yanıtı bulmuş oluyoruz.
Tebriklerimle; işlerinizde kolaylıklar ve esenlikler
dilerim.
A.Kadir Değirmencioğlu




----- Özgün İleti -----
Kimden : "Gorkem Ozkaya" 

Kime : "md" ,"A.Kadir Değirmencioğlu"

Gönderme tarihi : 27/05/2010 9:40
Konu : Re: [MD-sorular] Karışım

n cevrim sonunda A kabindaki *bugday unu* miktarina  a_n,  B
kabindaki *bugday unu* miktarina da  b_n diyelim.   a_0 , ve b_0
da kaplardaki baslangictaki bugday unu miktarlari olsun, yani ornegimiz
icin a_0 = 2 ve b_0 = 0.    
Once a_n ve b_n'i bildigimizi varsayip a_{n+1} ve b_{n+1}'i elde etmeye
calisalim: A kabindaki unun yarisini B kabina aktariyoruz.  Karisim
homojen oldugu icin bugday ununun da yarisini almis oluruz.  Yani ilk
once B kabindaki bugday unu miktari a_n/2 kadar artiyor, A kabinda da
a_n/2 kadar kaliyor.   Ikinci asamada B kabindaki tum unun yarisini A
kabina geri gonderiyoruz.  Bugday ununun da yarisi gitmis olur.
 Bunlari denkleme dokersek:
b_{n+1} = (1/2)(b_n + (1/2)a_n)a_{n+1} = (1/2)a_n +
b_{n+1}
Birinci denklemdeki b_{n+1}'i ikinci denklemde yerine yazip
duzenlersek:
a_{n+1}  = (3/4)a_n + (1/2)b_n (*)  elde
edilir.  

Ayrica toplam bugday unu miktari hep 2 oldugu
icin
a_n + b_n = 2 olur; yani b_n = 2 - a_n.   Bunu (*) denklemine yazip
duzenlersek, cozmemiz gereken denklemin

a_{n+1} = 1 + (1/4)a_n,a_0 = 2 
oldugunu goruruz. 

Ilk birkac terimini a_0 cinsinden yazalim:
a_1 = 1 + (1/4)a_0a_2 = 1 + (1/4) +
(1/4)^2(a_0)a_3 = 1 + (1/4) + (1/4)^2 +
(1/4)^3(a_0)
Buradan tumevarimla gosterebiliriz ki
a_n = 1 + (1/4) + (1/4)^2 + ... + (1/4)^{n-1} + (1/4)^n a_0
olur. 
a_0 = 2 alarak geometrik dizi kismi toplamini hesaplayip
duzenlersek
a_n = 4/3 + (2/3)(1/4)^n  bulunur.  Bu n cevrim sonra
A kabindaki bugday unu miktarini verir.  Diger miktarlar buradan
kolayca elde edilebilir. 

2010/5/26 dede <dede_47 at mynet.com>

Değerli Üyeler,Bir lise
öğrencisi sordu,kolay sandım;ama uğraştıkça
karıştırdım.Bunaldım ve"Pes!" ettim; sonunda
sizlere sormaya karar verdim.Soru şu:A kabında 2
birim buğday unu,B kabında 1 birim arpa unu
vardır.Elimizde 1 birimlik bir ölçek(kab) var.Önce
bu ölçeği A kabından buğday unuyla doldurup B
kabına boşaltıyoruz;eş dağılım (homogenously)
sağlanıncaya kadar B
kabını karıştırıyoruz;sonra da B kabında ki karışımdan bir
ölçek doldurupA kabına boşaltıyoruz.
(Her doldurma/boşaltma işleminde 
eş dağılım sağlanıncaya kadar
karıştırma
işlemini yapıyoruz) Bu işleme "N çevrim" devam ettiğimiz takdirde;
N çevrimin sonunda, A ve B kablarında ki buğday ve arpa unu
miktarı nedir?Not:A kabından B kabına, B
kabından A kabına 1 kere
doldurup/boşaltma işlemi " 1 çevrim" kabul
edilecek.Problemi genellemeye çalıştım;onu hiç
çözemedim.Saygılarımla...A.Kadir Değirmencioğlu


	
		Herkesin zevkle oynadığı oyunlar burada! Araba yarışları, Barbie
oyunları, savaş oyunları ve daha fazlası için hemen tıklayın!
	


_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular





	
		İngilizce seviyenizi ücretsiz test edebilirsiniz. Tıklayınız
	

 
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100527/b3fbe99f/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi