[MD-sorular] indirgenemez

[E. Mehmet Kıral]

Bence cok ilginc bir soru.

X^4 + 1 polinomu istediginiz turde bir polinomdur.

-1, modulo p bir kare olsun (Bu p modulo 4, 1'e denk iken ya da p = 2 iken
dogru olur).

Mesela a^2 = -1 mod p olsun. Bu durumda (X^2 - a)(X^2 + a) = X^4 - a^2 = X^4
+ 1 bize polinomun indirgenebildigini gosterir.

Simdi modulo p, -1 kare olmasin (Bu da p'nin modulo 4, 2'ye denk olmasi
anlamina gelir).

Bu durumda 2 ya bir karedir ya da -2 bir karedir. Hangisi oldugu modulo 16,
p'nin degerine gore degisir, ama simdi hangisi oldugunu umursamayalim, ve
ikisinden birine, hangisi kareyse 2f diyelim. a^2 = 2f olsun.

(X^2 + aX + f)(X^2 - aX + f) = X^4 + (a - a)X^3 + (2f - a^2)X^2 + (af - af)X
+ f^2 = X^4 +1.

Yani her p icin X^4  + 1 indirgedik.

Oysa bu polinom Q uzerine (esdeger olarak Z uzerine) indirgenebilir
degildir. Bunu gostermenin iyi bir yolunu bilmiyorum. Aklima gelen tek cozum
hammallik. Ilk olarak polinomun R'de dolayisiyla Q'da koku yok. Yani polinom
indirgenebilir olsa, olsa olsa iki kuadratik polinomun carpimi olarak
yazilabilir.  Bunun da olamayacagini iki tamsayi katsayili monik polinomu
carpip X^4 + 1 polinomunu elde edemeyerek gorebiliriz. O kadar da uzun
degilmis, ama yine de daha sik olabilirdi.

Dolayisiyla X^4 + 1 hakikaten de istediginiz turde bir polinom.

Baglantisini gonderdigim "kagit"ta, ki bu ornegi de oradaki ilk paragraftan
aldim, daha genelini yapmislar, iddialari oyle. Her n bilesik (asal olmayan)
sayi icin n. dereceden Q uzerine indirgenemez ancak her p icin, polinom
p-sel sayilar cismi Q_p'de dusunuldugu zaman indirgenebilir (bu durumda
polinom tamsayi halkasi Z_p'de ve Z/pZ'de de indirgenebilir oluyor), bir
polinom oldugunu kanitlamislar.

Epey kisa bir kagit. Once her modulo p indirgenen bir polinomun varligini
kanitliyorlar daha sonra da her Q_p'de. Ilki daha kolay.

http://www.math.ucla.edu/~mms/poly.pdf


2010/10/18 Egesel Azuz <egeselazuzi at gmail.com>

> Merhabalar,
>
> Her p asalı için modp de indirgenebilir
> fakat Z üzerine indirgenemez bir polinom arıyorum.
>
>
> Egesel de silva(maritius)
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101019/76a309d7/attachment.htm>