[MD-sorular] kardinalite

16 Eyl 2010 Per 10:42:29 EEST

Buraya küçük(!) bir düzeltme gerekiyor. Teoremi kanıtlamak için seçim beliti
gerekli.

İkinci paragrafta yazdığım şey elinizde A'dan B'ye verilmiş birebir bir f
fonksiyonu varsa B'den A'ya örten bir g fonksiyonu olduğunu kanıtlamak için
seçim belitinin gerekmediğini söylüyor.

Lakin kanıtlamak istediğimiz teoremde bize her n için A_n'den B'ye giden
birebir fonksiyonlar açık açık verilmiyor! Sadece A_n'lerin kardinalitesinin
B'den küçük eşit olduğunu biliyoruz. Yani her n için A_n'den B'ye giden
birebir fonksiyonlar kümesi boş değil. Şimdi her n için bu kümelerden
A_n'den B'ye giden birebir bir fonksiyon seçmek zorundayız (seçim beliti tam
olarak burada gerekiyor) ki B'den A_n'lere giden örten fonksiyonlar inşa
edebilelim.

Bu küçük (!) hata için özür dilerim, zamanında yazarken sanki her n için
bize A_n'den B'ye giden bir birebir fonksiyon veriliyor gibi düşünmüşüm.

Burak.

24 Ağustos 2010 17:53 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> yazdı:

> Aslında, kardinalitenin tanımını, card(X), X ile arasında eşleme olan en
> küçük ordinal sayıdır, şeklinde yaparsanız, her kümenin bir kardinal
> sayısının olduğunu söylemek için bile seçim beliti gerekli (seçim beliti
> doğruysa her küme iyi sıralanabilirdir, iyi sıralı her küme bir ordinale
> "order-isomorphic"tir, bir kümeyle arasında eşleme olan bir ordinal varsa bu
> ordinallerin en küçüğü de vardır).
>
> Söylediğiniz şeyle ilgili bir şey takıldı kafama. Sanki seçim beliti
> olmadan da yapabiliyoruz gibi. Şimdi A'dan B'ye birebir bir f fonksiyonu
> olduğu veriliyor bize. A boş değilse en az bir elemanı olduğunu biliyoruz,
> rastgele bir elemanını alıp -x diyelim buna- şu bağıntıyı tanımlarsanız
> g={(a,b) \in BxA | (b,a) \in f} U {(b,x) | b \in B-f[A]} bu size B'den A'ya
> örten bir fonksiyon verecektir. Yani fonksiyonu tersine çevirdik, B'de
> açıkta kalan elemanları da A'da var olduğunu bildiğimiz sabit bir elemana
> yolladık. Boş olmayan bir kümeden bir eleman almak için seçim belitine
> ihtiyacınız yok :).
>
> 24 Ağustos 2010 13:21 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>
> Cevap icin tesekkurler.
>>
>>  Burada birsey daha sormak istiyorum : secim aksiyomu bu teoremi
>> kanitlamak icin gerekiyor mu?
>>
>> Sanki gerekiyor gibi cunku B den diger kumelere giden bircok orten
>> fonksiyon var.Biz de bunlardan birini seciyoruz.
>>
>> Haydar
>>
>> 2010/8/23 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>>
>> İlk sorunuzun yanıtı pozitif. Şöyle ki:
>>>
>>> Teorem: Kappa sonsuz bir kardinal olsun. Elimizde kappa ile indekslenmiş
>>> bir {A_alpha}_alpha \in kappa kümeler ailesi olsun ve her alpha için
>>> card(A_alpha)<=kappa olsun. O zaman card(Union A_alpha)<=kappa.
>>>
>>> Kanıt: Her alpha için card(A_alpha)<=kappa olduğuna göre her alpha için
>>> öyle bir g_alpha vardır ki g_alpha: kappa -> A_alpha örtendir. Şimdi şu
>>> fonksiyonu tanımlayalım.
>>>
>>> h: kappa x kappa -> Union A_alpha
>>> (beta,gamma) -> g_gamma (beta)
>>>
>>> h'nin örten olduğu bariz. h örten olduğuna göre, card(kappa x kappa) >=
>>> card(Union A_alpha). Sonsuz kardinaller için card(kappa x kappa)=kappa
>>> olduğundan dolayı (bunu göstermek biraz uğraştırabilir, kanıtı şu an ben de
>>> hatırlamıyorum ama kardinal aritmetiğinde iki kardinalin çarpımı maksimum
>>> olana eşittir, MD'de yapılmış olabilir belki kanıt emin değilim), card(Union
>>> A_alpha)<=kappa.
>>>
>>> Şimdi sizin sorduğunuz soruya dönelim. A_n'ler arttığından dolayı card(B)
>>> sonsuz olmalı, card(B)>=Aleph_0.
>>>
>>> Eğer card(B)=Aleph_0 ise yukarıdaki teoremi direk olarak uygulayarak
>>> card(Union A_n)<Aleph_0=card(B) olduğunu gösterebilirsiniz.
>>>
>>> Eğer card(B)>Aleph_0 ise, B_n=A_n, eğer n < Aleph_0;B_n = A_n U {n} eğer
>>> Aleph_0<=n<card(B) şeklinde card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi
>>> tanımlayarak (bunu sadece teoremin koşullarına harfi harfine uyup elimizde
>>> card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi olsun diye yapıyoruz) teoremi
>>> uygulayabilir ve card(Union A_n) <= card (Union B_n) <= card(B) elde
>>> edebilirsiniz.
>>>
>>> Şu an için bir yanlış göremiyorum, eğer bir şeyler atladıysam birisi
>>> düzeltsin.
>>>
>>> Burak.
>>>
>>> 22 Ağustos 2010 16:57 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>yazdı:
>>>
>>> İkinci sorunuzun yanıtı negatif, şöyle ki:
>>>>
>>>> A_n kümelerini tüm sayılabilir ordinaller ile indeksleyelim, yani indeks
>>>> kümemiz ilk sayılamaz ordinal, omega_1. A_alpha da alpha'nıncı ordinal, yani
>>>> alpha'nın kendisi olsun! O zaman her alpha \in omega_1 için
>>>> card(A_alpha)<=Aleph_0 olduğu halde card (Union_{k \in omega_1} A_k =
>>>> omega_1) = Aleph_1 > Aleph_0 olacaktır.
>>>>
>>>> Üçüncü sorunuza gelirsek, A_n'lerin iç içe geçme koşulu da zorunlu.
>>>> İndekslemeyi doğal sayılar üzerinden yapın ve A_n={n} ve B={0} alın.
>>>>
>>>> İlk sorunuz için bir şey gelmedi aklıma ne yazık ki, karşı örnek aradım
>>>> lakin bulamadım. Sayılabilirlikten dolayı doğru olacak gibi duruyor. Biraz
>>>> daha düşüneyim :).
>>>>
>>>> 22 Ağustos 2010 15:50 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>>>>
>>>>>  Merhaba arkadaşlar, kardinalite ile ilgili bir sorum var :
>>>>>
>>>>> A1<A2....<An<... sayılabilir tane iç içe geçmiş artan küme dizisi ve
>>>>> card(An) <= card(B) tüm n doğal sayıları için.
>>>>> Demek ki tüm n doğal sayısı için fn fonksiyonu var 1-1 ve fn: An->B.
>>>>>
>>>>> Burdan birleşimAn kümesinin kardinalitesinin de B'nin kardinalitesinden
>>>>> küçük olduğunu söyleyebilir miyiz?
>>>>>
>>>>> Diğer bir soruda şu: burada içi içe geçmiş kümelerden sayılabilirtane
>>>>> aldık, yani N ile indisledik. Bu koşulu herhangi iyi sıralı bir küme ile
>>>>> yapabilir miyiz?
>>>>>
>>>>> İç içe artan bir dizi olma koşulu gerekli mi?
>>>>>
>>>>> Haydar
>>>>>
>>>>> _______________________________________________
>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> B.
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> B.
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
>
> --
> B.
>

-- 
B.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100916/8c0fb370/attachment.htm>