[MD-sorular] kardinalite

Burak Kaya burakvonkaya at gmail.com
16 Eyl 2010 Per 11:21:25 EEST


Hatta birebir fonksiyonlardan öte örten fonksiyonları insa ederken
A_n'lerden elemanlar seçmek için de kullanmak zorundayız seçim
belitini. Sonuc olarak bir basamakta kullanmadan geçmenin bir yolu
varsa da başka bir basamakta gerekecek. :)
16 09 2010 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> yazmış:
> Buraya küçük(!) bir düzeltme gerekiyor. Teoremi kanıtlamak için seçim
> beliti
> gerekli.
>
> İkinci paragrafta yazdığım şey elinizde A'dan B'ye verilmiş birebir bir f
> fonksiyonu varsa B'den A'ya örten bir g fonksiyonu olduğunu kanıtlamak için
> seçim belitinin gerekmediğini söylüyor.
>
> Lakin kanıtlamak istediğimiz teoremde bize her n için A_n'den B'ye giden
> birebir fonksiyonlar açık açık verilmiyor! Sadece A_n'lerin
> kardinalitesinin
> B'den küçük eşit olduğunu biliyoruz. Yani her n için A_n'den B'ye giden
> birebir fonksiyonlar kümesi boş değil. Şimdi her n için bu kümelerden
> A_n'den B'ye giden birebir bir fonksiyon seçmek zorundayız (seçim beliti
> tam
> olarak burada gerekiyor) ki B'den A_n'lere giden örten fonksiyonlar inşa
> edebilelim.
>
> Bu küçük (!) hata için özür dilerim, zamanında yazarken sanki her n için
> bize A_n'den B'ye giden bir birebir fonksiyon veriliyor gibi düşünmüşüm.
>
> Burak.
>
> 24 Ağustos 2010 17:53 tarihinde Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> yazdı:
>
>> Aslında, kardinalitenin tanımını, card(X), X ile arasında eşleme olan en
>> küçük ordinal sayıdır, şeklinde yaparsanız, her kümenin bir kardinal
>> sayısının olduğunu söylemek için bile seçim beliti gerekli (seçim beliti
>> doğruysa her küme iyi sıralanabilirdir, iyi sıralı her küme bir ordinale
>> "order-isomorphic"tir, bir kümeyle arasında eşleme olan bir ordinal varsa
>> bu
>> ordinallerin en küçüğü de vardır).
>>
>> Söylediğiniz şeyle ilgili bir şey takıldı kafama. Sanki seçim beliti
>> olmadan da yapabiliyoruz gibi. Şimdi A'dan B'ye birebir bir f fonksiyonu
>> olduğu veriliyor bize. A boş değilse en az bir elemanı olduğunu
>> biliyoruz,
>> rastgele bir elemanını alıp -x diyelim buna- şu bağıntıyı tanımlarsanız
>> g={(a,b) \in BxA | (b,a) \in f} U {(b,x) | b \in B-f[A]} bu size B'den
>> A'ya
>> örten bir fonksiyon verecektir. Yani fonksiyonu tersine çevirdik, B'de
>> açıkta kalan elemanları da A'da var olduğunu bildiğimiz sabit bir elemana
>> yolladık. Boş olmayan bir kümeden bir eleman almak için seçim belitine
>> ihtiyacınız yok :).
>>
>> 24 Ağustos 2010 13:21 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>>
>> Cevap icin tesekkurler.
>>>
>>>  Burada birsey daha sormak istiyorum : secim aksiyomu bu teoremi
>>> kanitlamak icin gerekiyor mu?
>>>
>>> Sanki gerekiyor gibi cunku B den diger kumelere giden bircok orten
>>> fonksiyon var.Biz de bunlardan birini seciyoruz.
>>>
>>> Haydar
>>>
>>> 2010/8/23 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>>>
>>> İlk sorunuzun yanıtı pozitif. Şöyle ki:
>>>>
>>>> Teorem: Kappa sonsuz bir kardinal olsun. Elimizde kappa ile
>>>> indekslenmiş
>>>> bir {A_alpha}_alpha \in kappa kümeler ailesi olsun ve her alpha için
>>>> card(A_alpha)<=kappa olsun. O zaman card(Union A_alpha)<=kappa.
>>>>
>>>> Kanıt: Her alpha için card(A_alpha)<=kappa olduğuna göre her alpha için
>>>> öyle bir g_alpha vardır ki g_alpha: kappa -> A_alpha örtendir. Şimdi şu
>>>> fonksiyonu tanımlayalım.
>>>>
>>>> h: kappa x kappa -> Union A_alpha
>>>> (beta,gamma) -> g_gamma (beta)
>>>>
>>>> h'nin örten olduğu bariz. h örten olduğuna göre, card(kappa x kappa) >=
>>>> card(Union A_alpha). Sonsuz kardinaller için card(kappa x kappa)=kappa
>>>> olduğundan dolayı (bunu göstermek biraz uğraştırabilir, kanıtı şu an ben
>>>> de
>>>> hatırlamıyorum ama kardinal aritmetiğinde iki kardinalin çarpımı
>>>> maksimum
>>>> olana eşittir, MD'de yapılmış olabilir belki kanıt emin değilim),
>>>> card(Union
>>>> A_alpha)<=kappa.
>>>>
>>>> Şimdi sizin sorduğunuz soruya dönelim. A_n'ler arttığından dolayı
>>>> card(B)
>>>> sonsuz olmalı, card(B)>=Aleph_0.
>>>>
>>>> Eğer card(B)=Aleph_0 ise yukarıdaki teoremi direk olarak uygulayarak
>>>> card(Union A_n)<Aleph_0=card(B) olduğunu gösterebilirsiniz.
>>>>
>>>> Eğer card(B)>Aleph_0 ise, B_n=A_n, eğer n < Aleph_0;B_n = A_n U {n}
>>>> eğer
>>>> Aleph_0<=n<card(B) şeklinde card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi
>>>> tanımlayarak (bunu sadece teoremin koşullarına harfi harfine uyup
>>>> elimizde
>>>> card(B) ile indekslenmiş bir kümeler ailesi olsun diye yapıyoruz)
>>>> teoremi
>>>> uygulayabilir ve card(Union A_n) <= card (Union B_n) <= card(B) elde
>>>> edebilirsiniz.
>>>>
>>>> Şu an için bir yanlış göremiyorum, eğer bir şeyler atladıysam birisi
>>>> düzeltsin.
>>>>
>>>> Burak.
>>>>
>>>> 22 Ağustos 2010 16:57 tarihinde Burak Kaya
>>>> <burakvonkaya at gmail.com>yazdı:
>>>>
>>>> İkinci sorunuzun yanıtı negatif, şöyle ki:
>>>>>
>>>>> A_n kümelerini tüm sayılabilir ordinaller ile indeksleyelim, yani
>>>>> indeks
>>>>> kümemiz ilk sayılamaz ordinal, omega_1. A_alpha da alpha'nıncı ordinal,
>>>>> yani
>>>>> alpha'nın kendisi olsun! O zaman her alpha \in omega_1 için
>>>>> card(A_alpha)<=Aleph_0 olduğu halde card (Union_{k \in omega_1} A_k =
>>>>> omega_1) = Aleph_1 > Aleph_0 olacaktır.
>>>>>
>>>>> Üçüncü sorunuza gelirsek, A_n'lerin iç içe geçme koşulu da zorunlu.
>>>>> İndekslemeyi doğal sayılar üzerinden yapın ve A_n={n} ve B={0} alın.
>>>>>
>>>>> İlk sorunuz için bir şey gelmedi aklıma ne yazık ki, karşı örnek
>>>>> aradım
>>>>> lakin bulamadım. Sayılabilirlikten dolayı doğru olacak gibi duruyor.
>>>>> Biraz
>>>>> daha düşüneyim :).
>>>>>
>>>>> 22 Ağustos 2010 15:50 tarihinde haydar göral <hgoral at gmail.com> yazdı:
>>>>>
>>>>>>  Merhaba arkadaşlar, kardinalite ile ilgili bir sorum var :
>>>>>>
>>>>>> A1<A2....<An<... sayılabilir tane iç içe geçmiş artan küme dizisi ve
>>>>>> card(An) <= card(B) tüm n doğal sayıları için.
>>>>>> Demek ki tüm n doğal sayısı için fn fonksiyonu var 1-1 ve fn: An->B.
>>>>>>
>>>>>> Burdan birleşimAn kümesinin kardinalitesinin de B'nin
>>>>>> kardinalitesinden
>>>>>> küçük olduğunu söyleyebilir miyiz?
>>>>>>
>>>>>> Diğer bir soruda şu: burada içi içe geçmiş kümelerden sayılabilirtane
>>>>>> aldık, yani N ile indisledik. Bu koşulu herhangi iyi sıralı bir küme
>>>>>> ile
>>>>>> yapabilir miyiz?
>>>>>>
>>>>>> İç içe artan bir dizi olma koşulu gerekli mi?
>>>>>>
>>>>>> Haydar
>>>>>>
>>>>>> _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> --
>>>>> B.
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> B.
>>>>
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> B.
>>
>
>
>
> --
> B.
>


-- 
B.


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi