[MD-sorular] Ynt: Re: Ynt: Re: İki Soru

[dede]

Sayın Kerem Altun;
Verdiğiniz örnek (yani; I=Çarpım(n;1'den
sonsuza:(1+1/(n^2))) 
sonsuz çarpımının  değeri I=Sinh(pi)/pi dır.(Sinh=Sinus hiperbolik)
Matematik kitaplarının Türkçe/İngilizce hepsinin "Sonsuz Çarpımlı
Seriler/
Infinite Products Series" bölümünde; sonsuz çarpımlı seriler de verdiğim 
"yakınsama" kuralını yazar.İşte İngilizce olanlardan birsinin İngilizce
metni ve 
Türkçesi: (Yazım zorluğu nedeniyle;yazamadığım yeri toplama ve çarpma 
simgelerinin Yunanca isimlerini yazacağım)
(If the series "SİGMA u(n)" is
absolutely convergent the infinit product"PI(1+u(n)" is called
absolutely convergent; the product thenconverges to a value
independent of the order of the factors.)
(An Introduction To The Theory Of Infinite Series;A.Bromwich
Second Edition;1947 Mc Millan.Page 107) Türkçesi:
Eğer TOPLAM u(n) serisi mutlak/koşulsuz yakınsak ise,ÇARPIM
(1+u(n)) sonsuz çarpım serisi de mutlak/koşulsuz yakınsaktır;(bu halde)
sonsuz çarpım; terimlerin sırasından/yerinden bağımsız olarak belli
bir değere yakınsar.
Dikkat ederseniz burada "mutlak yakınsak(absolutely convergent)" terimi
kullanılmıştır;demek ki "mutlak yakınsak olmayan (non-absolutely
convergent)"
sonsuz çarpımlı seriler de vardır/olabilir.Bunu düşünerek  o soruyu
sordum.
İyi gün(ler) dileklerimle..
A.Kadir Değirmencioğlu





----- Özgün İleti -----
Kimden : "Kerem Altun" 
Kime : "dede" 
Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
Gönderme tarihi : 28/09/2010 1:43
Konu : Re: Ynt: Re: [MD-sorular] İki Soru
Mesajinizi cok anladigimi soyleyemem ama, toplam u(n) yakinsaksa carpim
(1+u(n)) nasil yakinsak oluyor? Ornegin u(n)=1/n^2 olsun. Bunun yakinsak
oldugunu biliyoruz. Ama (1+u(n)) her zaman 1'den buyuk bir sayi, bunlari
carparsaniz bir yere yakinsamaz sanki. Yanlis mi dusunuyorum?


Kerem


2010/9/28 dede <dede_47 at mynet.com>

Sayın Kerem Altun;

Kanıtınızı incelediğim kadarıyla beğendim;teşekkür ederim,kısa ve öz bir 

kanıt olmuş.(Daha inceleyeceğim).1.Sorum, Sinus(x)/x fonksiyonunun 

sonsuz çarpımlı serisinde karşıma çıktı.Şöyle ki:

p(x,n)=(1-x/(n pi)); q(x,n)=(1+x/(n
pi)  dersek;(e=2.71828...)

Sin(x)/x=p(x,n)q(x,n)=Çarpım(n;1'den
sonsuza kadar:(1-(x/(npi))^2) dır.

P(x)=Çarpım(n;1'den
sonsuza:p(x,n))=(Gamma(1-x/pi))/e,Q(x)=Çarpım(n;1'den sonsuza :
q(x,n))=(Gamma(1+x/pi))/e

Eğer bu sonsuz çarpımlı seri de terimlerin sırasının değiştirilmesi

önemsiz olsaydı Sin(x)/x=P(x)Q(x)
olmalıydı,ama olmuyor.

P(x)Q(x)=(Gamma(1-x/pi)Gamma(1+x/pi))/e^2 çıkıyor.

Gamma(1-x/pi)Gamma(1+x/pi)=x/Sin(x)
olduğundan

P(x)Q(x)=x/(e^2Sin(x))
olmaktadır.

Bu yanlışın bence görünür tek nedeni,sonsuz çarpımda sıranın değişmiş 

olmasıdır; sıra önemsiz olsaydı P(x)Q(x)=Sin(x)/x çıkmalıydı.Başka bir izahını 

bulamadım,(yoksa var da ben mi bilmiyorum) onun için sıranın 

değişip/değişmemesini sordum.Burada dikkatimi başka bir nokta daha
çekiyor;

ona hiç yanıt bulamadım:Eğer, Toplam
:u(n) serisi yakınsaksa

Çarpım (1+u(n)) sonsuz çarpımının yakınsak;ıraksak ise ıraksak olacağını 

tüm kitaplar yazıyor.Yukarıda ki, Toplam
(n;1'den sonsuza: u(n)=x/(n pi)) 

serisi ıraksak olduğundan Çarpım(n;1'den
sonsuza kadar:(1+-x/(n pi)) 

serilerinin de ıraksak olması gerekirken yukarıda verdiğim gibi
sırayla 

(Gamma(1+x/pi))/e  ve (Gamma(1-x/pi))/e değerlerine yakınsamaktadır.

Bunu izah edemiyorum.Açıklayabilen olursa memnun olurum..

Esenlikle, sağlıkla..

A.Kadir Değiğrmencioğlu









----- Özgün İleti -----

Kimden : "Kerem Altun" 

Kime : "dede" 

Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org

Gönderme tarihi : 28/09/2010 0:18

Konu : Re: [MD-sorular] İki Soru

Ikinci sorunuzu yanitlayayim.



r sayisi denklemin tamsayi bir koku olsun. Yani f(r)=0.



a0 tek oldugundan, a1+...+an toplami cift olmak zorundadir.



r cift olamaz, cunku r cift olsaydi a1*r+...+an*r^n de cift olurdu, ve a0
ile toplayinca sifir etmezdi.





a1+...+an cift oldugundan, a1*r+...+an*r^n toplami da cifttir. Cunku r
tek
oldugundan, a_k tekse a_k*r^k da tektir, a_k ciftse a_k*r^k da
cifttir.



a1*r+...+an*r^n cift oldugundan, a0 ile toplayinca 0 etmez. Demek ki r
tek
de olamaz.





Bir celiski elde ettik. Demek ki r tamsayi olamaz.



Ilk sorunuzda da, carpim sembolu ile yazilan bir ifadeye "seri" deniyor
mu? Kosullu yakinsaklik tanimi var mi? Bence bunlarin yaniti olumsuz.





Kerem







2010/9/27 dede <dede_47 at mynet.com>



Değerli Üyeler;



Benin de iki sorum olacak:



1) Toplam simgesi altında koşullu yakınsak seriler de,terimlerin 



     sırasının değiştirilmesiyle serinin toplamının

değiştiği bilinir.



     Çarpım simgesi (çarpım serisi) altında koşullu

yakınsak serilerde de 



     terimlerin sırasının değiştirilmesi, çarpım

serisinin toplamını değiştirir mi?



2) "f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+.....+an*x^n=0 polinom



     denklemin de eğer f(0)=a0 ve

f(1)=a0+a1+a2+a3+....an,  toplamı  



     tek sayı ise;bu denklemin tamsayılı kökü
yoktur."

önermesi nasıl kanıtlanır?



     Yardımcı olacaklara teşekkürlerimle,



      Saygılar..



      A.Kadir Değirmencioğlu













	

		Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş!

Hemen tıkla!

	





_______________________________________________



MD-sorular e-posta listesi



sorular at matematikdunyasi.org



http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular










	
		İngilizce seviyenizi ücretsiz test edin. Ödül kazanın!.. Tıklayınız.
	







	
		Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş!
Hemen tıkla!
	
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100928/f7d59993/attachment.htm>