[MD-sorular] Fwd: Ynt: Re: Bir Soru
Serhat Doğan
dserhat at bilkent.edu.tr
11 Nis 2011 Pzt 14:54:53 EEST
---------- Forwarded message ----------
From: Serhat Doğan <dserhat at bilkent.edu.tr>
Date: 2011/4/11
Subject: Re: [MD-sorular] Ynt: Re: Bir Soru
To: dede <dede_47 at mynet.com>
Merhaba,
Öncelikle sonuçtan sonra belli olacak birşeyi şimdiden söyliyim, En başta
verilen lastiğin boyu 6 değil de herhangi bir n olsa sonra da her adımda n
birim uzasa yine de bu böcek lastiğin sonuna gelebilir. n büyüdükçe zaman
artacak tabi. Şu durumda ufak bir excel denemesi ile 227 adım sonra olduğunu
gördüm bir hata yapmadıysam.
Şimdi x_n ile n zamanında böceğin bulunduğu konumu belirtelim. Bizim
derdimiz x_n nin 6n den büyük olabileceğini göstermek.
n anının başında lastiğin uzunluğu 6n, sonraki saniyede ise 6n+6 olacak yani
(n+1)/n katına çıkacak. Şimdi böcek x_n konumundan 1 birim ilerledikten
sonra lastik (n+1/)n kat uzayacağı için
x_(n+1)=(x_n+1)(n+1)/n olacak. Bu ilişki bizim hayatımızı kolaylaştıran şey.
bunu biraz toparlamak için her tarafı n+1 e bölersek
x_(n+1)/(n+1)=x_n/n + 1/n elde ederiz. yani x_n/n dizisi harmonik seri gibi
artmaktadır. x_n/n = y_n dersek
y_1=1
y_2=1+1/2=1.5
y_3=1+1/2+1/3=1.8333
bu rakamlar önceden gönderilenlerle de örtüşüyor bizim derdimiz harmonik
seri 6 yı ne zaman geçer o da işte dediğim gibi sanırsam 227 olması lazım,
Kaldı ki 6 değil herhangi bir oranı da geçer.
serhat
2011/4/11 dede <dede_47 at mynet.com>
> Sayın Ozan Çelik;
> Aşağıda; her T saniye sonunda:Böceğin gittiği S (cm) yol, lastik
> bandın L uzunluğu ve S/L oranını veriyorum:(Umarım hata yapmamışımdır!)
> T S L S/L
> 0 1 6 0.166..
> 1 3 12 0.25
> 2 5.500 18 0.305..
> 3 8.333 24 0.347..
> 4 11.416.. 30 0.380..
> 5 14.70 36 0.408..
> 6 18.15 42 0.432..
> . . . .
> . . . .
> En sağdaki (S/L) oranına dikkat ederseniz,bunun devamlı yükseldiğini,
> belli bir T süresi sonunda (san ki) 1 olacağını "sezgisel olarak"
> hissedebiliyorum.Ama maalesef problemi genel bir formülasyona
> indirgeyemediğim için bu limitin 1 olacağını "kesin" söyleyemiyorum.
> Dolayısıyla sanırım,böceğin bandın sonuna varabilmesi dediğiniz
> gibi sonsuz zamanda değil, sonlu bir zamanda olacak gibi geliyor bana..
> Ancak formüle edemediğim için (uğraşıyorum!)bu süreyi bilemiyorum..
> Selam ve sağlık dileklerimle;
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Ozan Çelik"
> Kime : "dede" ,md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 11/04/2011 14:03
> Konu : Re: [MD-sorular] Bir Soru
> Merhaba,
>
> Böceğin kat edemeyeceği bir mesafe söyleyemeyiz, başka bir deyişle böceğin
> alması gereken bir x mesafesi söylersek, böcek bu mesafeyi belli bir t
> süresi sonunda mutlaka kat etmiş olacaktır. Hatta bu örnekte x=t oluyor.
>
> Bu durumda yeteri kadar süre geçmiş olduğunu düşünürsek böcek mutlaka her
> mesafeyi kat edebilmiş olmalıdır, yani lastiğin sonuna gelebilmiş olacaktır.
> Kaç saniyede gelir sorusuna gelince, sonsuz zaman geçmiş olması gerekiyor
> ("Sonsuz zaman" bilimsel olarak çok doğru bir kavram olmayabilir, emin
> değilim)
>
>
> Ben de benzer olduğunu düşündüğüm bir soruyu Ali Nesin'in kitaplarından
> birinde görmüştüm, benzer bir örnek olarak onu hatırlatabilirim. Soru
> şöyleydi:
>
> İki arkadaş (X ve Y olsun) iki farklı odadalar, birbirlerine
> numaralandırılmış topları atıyorlar. İlk anda Y'nin odasında hiç top yok.
>
>
> Saat 1'e 1/2 kala, X Y'ye 1 ve 2 numaralı topları atıyor, Y de X'e 1
> numaralı topu geri atıyor.
> Saat 1'e 1/4 kala, X Y'ye 3 ve 4 numaralı topları atıyor, Y de X'e 2
> numaralı topu geri atıyor.
>
> ...
> Saat 1'e 1/2^n kala, X Y'ye 2n-1 ve 2n numaralı topları atıyor, Y de X'e n
> numaralı topu geri atıyor.
>
> Bu durumda saat tam 1'de Y'nin olduğu odada kaç tane top olur?
>
>
> Sorunun farklı bir şekli daha var, onda da
>
> Saat 1'e 1/2 kala, X Y'ye 1 ve 2 numaralı topları atıyor, Y de X'e elindeki
> toplardan rastgele bir tanesini geri atıyor (Her topun geri atılma olasılığı
> eşit).
>
> Saat 1'e 1/4 kala, X Y'ye 3 ve 4 numaralı topları atıyor, Y de X'e yine
> elindeki toplardan rastgele bir tanesini geri atıyor
> ...
> Saat 1'e 1/2^n kala, X Y'ye 2n-1 ve 2n numaralı topları atıyor, Y de X'e
> yine elindeki toplardan rastgele bir tanesini geri atıyor
>
>
> Soru yine aynı, saat tam 1'de Y'nin olduğu odada kaç tane top olur?
>
>
> Ozan Çelik
>
>
> 2011/4/11 dede <dede_47 at mynet.com>
>
>
>>
>> Değerli Üyeler;
>>
>>
>>
>> Bir kitapta gördüğüm, (bana göre) ilginç bulduğum bir
>> soru:
>>
>>
>>
>> Sonsuza kadar uzatılabilen lastik bir bandın üstünde
>> aşağıda
>> ki koşullarla
>>
>>
>>
>> bir böcek hareket etmektedir.
>>
>>
>>
>> a) Başlangıçta
>> lastiğin ilk boyu 6 cm dır.
>>
>>
>>
>> b) Böceğin
>> hızı sabit ve 1 cm/sn olup, ilk 1 saniye de bu hızla
>>
>>
>>
>> bant üzerinde
>> yürümektedir.
>>
>>
>>
>>
>> c) Her 1 saniyenin sonunda lastiğin
>> boyu ilk
>> boyu olan
>>
>>
>>
>>
>> 6 cm kadar çekilip
>> uzatılmaktadır.2.saniye sonuna kadar böcek yine
>>
>>
>>
>>
>> 1 cm
>> gitmekte; saniyenin sonunda, lastiğin boyu yine çekilip uzatılarak
>>
>>
>>
>>
>> mevcut boyu
>> 6 cm daha uzatılmaktadır
>>
>>
>>
>>
>> d) Bu (b) ve (c) maddelerinde ki kurallar sürekli tekrarlanmaktadır.
>>
>>
>>
>>
>> (yani, her saniyenin
>> sonunda lastiğin boyu; ilk boyu olan 6 cm kadar
>>
>>
>>
>>
>> çekilip uzatılmakta,
>> sonra ki 1 saniye boyunca böcek 1 cm yürümekte
>>
>>
>>
>>
>> 1 saniye
>> sonunda lastiğin mevcut boyu tekrar 6 cm çekilip uzatılmaktadır.)
>>
>>
>>
>> Soru şu:*Bu koşullar
>> altında böcek, lastik bandın sonuna kadar gelebilir mi;*
>>
>>
>>
>> *gelebilirse kaç
>> saniyede gelebilir?*(Not:Lastiğin kopmadığı,böceğin de banttan
>>
>>
>>
>> düşmediği kabul edilecek!)
>>
>>
>>
>> Saygıyla...
>>
>>
>>
>> A.Kadir Değirmencioğlu
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> ------------------------------
>>
>>
>> _______________________________________________
>>
>> MD-sorular e-posta listesi
>>
>> sorular at matematikdunyasi.org
>>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
>
> ------------------------------
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110411/b7e1f72a/attachment.htm>
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi