[MD-sorular] Ynt: sayılar

[Ali Nesin]

Aritmetik-Geometrik esitsizligi daha kullanisli ve daha az bilgi 
gerektiriyor.
Bilmeniz gereken
(xyz)^1/3 \kucukesit (x+y+z)/3
esitsizligi ve esitligin ancak x = y = z icin mumkun oldugu.
(Kaynakca: Ali Nesin, Temel Gercel Analiz, Nesin Yayincilik 
(www.nesinyayinevi.com), 2011, Bolum 4.5.)
Eger burada x = 4a^2, y = 6b^3 ve z = 9ac^3 alirsaniz,
(xyz)^1/3 = 4x6x9 = 6 cikar.
Demek ki 4a^2 + 6b^3 + 9ac^3 ifadesinin en kucuk degeri olsa olsa 6x3'tur.
(Dede'nin buldugu!)
Ancak bu ifadenin gercekten bu degeri alabilmesi icin,
abc = 1 ve 4a^2 = 6b^3 = 9ac^3 denklemlerinin ayni anda cozumunun olmasi 
gerekir, ki oldugu da kolaylikla gosterilebiliyor.
A


On 06.12.2011 23:12, dede wrote:
> Sayın Murat Sarı;
> Bu tip sorularda genel bir yöntem:
> 1) a b c=1 den� c=1/(a b) yi Z(a,b,c)=4a^2+6b^3+9ac^3
> de yerine koyunca: Z(a,b)=4a^2+6b^3+9/(a^2b^3) bulunur.
> 2) Z(a,b) nin (a)'ya ve (b)'ye göre kısmi türevleri alınır:
> Z'a(a,b)=8a-18/(a^3b^3) ve Z'b(a,b)=18b^2-27/(a^2b^4)
> 3) Bu kısmi türevler sıfıra eşitlenip,(a) ve (b) için çıkacak
> değerlerden verdiğiniz "negatif olmayan reel sayılar" koşuluna
> uyan (a) ve (b) ler bulunur.Bunlar a=kök(3/2) ve b=1 dir.
> 4) Bu değerler Z(a,b) de yerine konursa Zmin(a,b)=18 bulunur.
> 5)Bu değerin en küçük değer olup/olmadığı; 2. kısmi türevler
> alınarak kontrol edilir.Bu kontrolde 18' in en küçük değer olduğu anlaşılır.
> Esenlik ve sağlık dileklerimle...
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> Not Bu tip sorular bilinen eşitsizlikler yardımıyla da çözülür;ama ben bu
> yolu kısalığı ve eminliği nedeniyle tercih etmekteyim.
>
>
>   ----- Özgün İleti -----
> Kimden : m.sari19 at hotmail.com
> Kime : md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 06 Aralık 2011 Salı 21:54
> Konu : [MD-sorular] sayılar
>
>      a,b,c negatif olmayan reel sayılar
>   a.b.c=1 ise 4a^2+6b^3+9ac^3 ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri=?
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111207/5a72c28b/attachment.htm>