[MD-sorular] Ynt: Re: logaritma

[dede]

Sayın
Karatug Ozan Bircan;


Çözümünüz de
(b_i)’ler için bulduğunuz sonuca nasıl vardınız, tam 


anlayamadım.(ben
bu sonucu çıkaramadım).Diyelim ki (b_i)’ler için 


bulduÄŸunuz;
b_i=f(x, a_i) sonucunuz doÄŸru
olsun.(i=1,2,3...10)


Burada (x) ve (a_i)’ler bilinmediğinden,
(b_i) ler bulunamaz;yani soru 



çözülmüş olmuyor."Bana
göre" bu sorunun çözümü şöyle olmalıdır:


log_a1
(x)=b_1  ise   x=(a_1)^(b_1)  yani; a_1=x^(1/b_1) 
demektir;


log_a2
(x)=b_2  ise   x=(a_2)^(b_2)  yani; a_2=x^(1/b_2) 
demektir;


log_a3
(x)=b_3  ise   x=(a_3)^(b_3)  yani; a_3=x^(1/b_3) 
demektir;


………………………………………………...................................


log_a10
(x)=b_10  ise   x=(a_10)^(b_10)  yani; a_10=x^(b_10) 
demektir;


Siyahladığım
eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa;


a_1*a_2*a_3*…….*a_10
= x = x^(1/b_1+1/b_2+1/b_3+…..1/b_10), veya


1/b_1+1/b_2+1/b_3+…..1/b_10
=1 bulunur.�u halde öyle 10 adet sayı 


bulacağız
ki, terslerinin toplamı 1 olsun.Bunun için ya;


1)     
b_1=b_2=b_3=....=b_10 = b olmalıdır.Bu halde (b_n)’ lerin hepsi


      birbirine eÅŸit olduÄŸundan
hepsinin deÄŸeri b=10 dur. Ya da;


2)     
Eğer “Mısır Kesirleri� konusu iyice biliniyorsa;


1/n=1/(n+1)+1/(n(n+1)) özdeşliğinde ilkönce n=1
alıp,sağ tarafta


çıkacak sayılara bu eşitliği sürekli uygulayarak;


1=1/2+1/9+1/10+1/12+1/20+1/21+1/28+1/30+1/36+1/90 veya


1=1/5+1/6+1/8+1/9+1/10+1/12+1/15+1/18+1/20+1/24 


eÅŸitlikleri
bulunabilir.Bu durumda eşitliğin sağ tarafındaki kesirlerin paydalarının



her biri sırayla (b_n) lere eşit olur.Yani; 


b_1=(2,5), b_2=(9,6),
b_3=(10,8), b_4=(12,9), b_4=(12,9), b_4=(12,9), 


b_4=(12,9),  b_4=(12,9),  b_4=(12,9),  b_4=(12,9), 


(b_k=(a,b) yazımı; b_k1=a, veya b_k2=b anlamındadır.)


3)     
Mısır kesirleri bulma yöntemi uygulanarak yukarıdakilere benzer 


      başka kesirlerde bulunabilir.(aramadım);yani
sorudaki (b_n)’lerin 


      birçok değeri vardır;
problemin tek çözümü yoktur.Eğer (b_n) lerin 


      �sıralı/peş peşe gelen
doğal sayı veya sıralı onlu� gibi koşullar,konulursa


      problemin çözümü olmaz.Zira
10 adet bilinmeyen için 1 adet eşitlik vardır


      baÅŸka
eşitlikler ise,verilenlerden bulunamamaktadır


Bu listede sorulan
her sorunun “açık,anlaşılır ve DO�RU� çözülmesi


gerekliliğinden dolayı
bu çözüm yapılmıştır.Çözümde benim de yanlışım varsa


sanırım “daha
dikkatli/bilgili� üyeler düzeltecektir.


Selamlarımla…


A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu







 ----- Özgün İleti -----
Kimden : karatugo at gmail.com
Kime : "m.s. yılmaz" <mattmsy at hotmail.com>
Cc : "md-sorular at matematikdunyasi.org" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Gönderme tarihi : 12 Aralık 2011 Pazartesi 23:40
Konu : Re: [MD-sorular] logaritma

i 1'le 10 arasındayken, log_{a_i}(x)=b_i'ye eşit olduğundan x=(a_i)^(b_i) olur. Aynı zamanda (a_1)(a_2)...(a_10)=x olmasını istiyoruz. Bu eşitlikte her iki tarafın da b_i'nci üssünü alırsak,  ((a_1)(a_2)...(a_10))^(b_i)=x^(b_i) eşitliğini elde ederiz. x=(a_i)^(b_i) eşitliğini kullanırsak, eşitlik ((a_1)...(a_i-1)(a_i+1)...(a_10))^(b_i)=x^((b_i)-1) haline gelir. Buradan da her iki tarafın ((a_1)...(a_i-1)(a_i+1)...(a_10)) tabanında logaritmasını alırsak, (b_i)=((b_i)-1) log_((a_1)...(a_i-1)(a_i+1)...(a_10)) x olur. Dolayısıyla, (b_i)= - log_((a_1)...(a_i-1)(a_i+1)...(a_10)) x / (1 - log_((a_1)...(a_i-1)(a_i+1)...(a_10)) x) olduğunu görebiliriz. 
 
On Sunday, December 11, 2011, m.s. yılmaz  wrote:
     log_a1 (x)=b_1  ifadesi x'in a_1 tabanındaki logaritmasıdır. 
   log_a1(x)=b_1  , log_a2(x)=b_2 , ... ,log_a10(x)=b_10  ve b_1,b_2,...,b_10 doğal sayılar olmak üzere 
   a_1*a_2*...*a_10=x  eşitliğini sağlayan (b_1,b_2,...,b_10) sıralı onlularını nasıl bulabiliriz? 
   teşekkür ederim.iyi günler...

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111213/fb0ccbdb/attachment.htm>