[MD-sorular] Ynt: soru

dede dede_47 at mynet.com
27 Ara 2011 Sal 21:22:26 EET


Sayın Ömer Ara;
Euler PHİ(m,n) fonksiyonunu F(m,n); en büyük ortak böleni
EBOB ve en küçük ortak katı ise EKOK ile göstereceğim.
Aşağıda ki eşitlikler(kanıtlarını size bırakıyorum) bilinir:
F(EBOB(m,n))*F(EKOK(m,n))=F(m)*F(n); (1)EBOB(m,n)*EKOK(m,n)=m*n; (2)
EBOB(m,n)=(m,n)=d; verilmiÅŸtir.Bu eÅŸitlikle beraber,(1) ve (2) 
den; F(d)*F(mn/d)=F(m)*F(n); (3) bulunur.(3) eÅŸitliÄŸinin iki
tarafını (d) ile çarpıp,verdiğiniz eşitlikle karşılaştırırsak;
d*F(mn/d)=F(mn); (5) buluruz.(m,n)=d olduÄŸundan (a,b)=1
olmak üzere m=a*d ve n=b*d dir.(5) de bunları kullanırsak;
d*F(abd)=F(abd^2); (6) buluruz.(a,b)=1  ise Euler
PHİ fonksiyonu çarpımsal olacağından,(5) eşitliğini
d*F(a)*F(b)*F(d)=F(a)*F(b)*F(d^2); (6) yazabiliriz.
Kısaltıktan sonra; d*F(d)=F(d^2); (7) olur.Şimdi iki hal var:
a) Eğer d asal ise (7) nin sağ tarafı;F(d^2)=d^2-d=d(d-1) demektir.
sol tarafı ise F(d)=d-1 olduğundan d*F(d)=d(d-1) olur.
İki yanın eşitliğinden, kanıt tamam demektir.
b) Eğer (d) bileşik bir sayıysa: Kolaylık açısından d=p*q şeklinde
 iki asal çarpanı olduÄŸunu kabul edelim.(Çarpanların üslü olması 
veya 2 den fazla olması, yöntem olarak fazla fark etmez.)
Åžu halde (7) den; sol taraf; d*F(d)=p*q*F(pq)=pq(pq(1-1/p)(1-1/q))
=(pq)^2(1-1/p)(1-1/q);saÄŸ taraf ise, d^2(1-1/p)(1-1/q)=(pq)^2(1-1/p)(1-1/q)
elde edilir. Sağ ve sol tarafların eşitliğinden, kanıt yine tamamlanmıştır.
Umarım yardımcı olabilmişimdir.
Kolaylık ve esenlik dileklerimle...

A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu

Not:Belki daha kısa ve açık bir kanıt vardır; bilemiyorum.
Ben "kendimce" bu kanıtı yaptım.Umarım bir "düşünme yol kazası"
yapmadım!(Daha dikkatli üyelere güveniyorum)





 ----- Özgün İleti -----
Kimden : omerara02 at gmail.com
Kime : md-sorular at matematikdunyasi.org
Gönderme tarihi : 27 Aralık 2011 Salı 14:43
Konu : [MD-sorular] soru

(m,n) = d  ise  ϕ(mn)ϕ(d) = dϕ(m)ϕ(n)  oldugunu gösteriniz. sorumu çözerseniz çok sevinirim, şimdiden teşekkürler.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111227/7dba1588/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi