[MD-sorular] Olasılık

[Kadir GÜLEÇ]

Üç boyutlu üçgenden iki boyuta izdüşüm işini yapıp kafamda canlandıramadım ama
İki boyutta yapılan işlemleri quadratic denklemden y=(x+1-kök(5x^2-2x+1))/2 çözümünü ve
Daha önceki üçgenin alanı (x<1/2, y/1/2 ve x+y>1/2) ile bu yeni eğrinin arasındaki alanın istenen alan olduğunu anladım
Ondan sonra 3 ile çarpmayı da tam emin olamasam da anladım.
Ama izdüşümü anlamadığım için neden istenilen alanın 1/kök(3) olduğunu anlamadım

Uzun uzun yazmamın, açıklamamın nedeni emeğinize saygı açısından.
Teşekkürler.

Kadir Güleç




Öncelikle hesaplamaları basitleştirmek açısından sadece olasılıkların hesaplandığı alanı incelemek gerekiyor. İlgilenilen alan x, y,z>0 için (1,0,0),(0,1,0) ve (0,0,1) köşelerinden oluşan üçgen. Bu üçgene A1 diyelim. Bu üçgen yerine x-y düzleminde çalışmak daha uygun çünkü bu izdüşümdeki alanlar A1 üçgenindeki alanların 1/kök(3) oranında. Dolayısıyla x-y düzlemindeki izdüşümlerindeki alanları hesaplarsak doğrudan kök(3) ile çarparak A1 üzerindeki alanları bulabiliriz.

Şimdi 1/x+1/z>1/y eşitsizliği için hesap gerekiyor. Eşit durumda 1/x+1/(1-x-y)=1/y yani (1-x-y)(x-y)=xy denklemiyle elde edilen eğri çıkıyor karşımıza.
Bu eğri ortada bulunan üçgenin alanının bir kısmını azaltacak. Ortada bulunan üçgen sadece kenarların üçgen oluşturduğu durumdu.

Öncelikle   (1-x-y)(x-y)=xy denklemini y için çözersek y=(x+1-kök(5x^2-2x+1))/2 bulunur. bu eğri ile y=1/2-x doğrusu ve x=1/2 doğrusu arasındaki alanı hesaplarsak ortadaki üçgenden çıkartılacak alanın 3'te birini buluruz. Bunun için integral gerekli. Bunu mathematica'nın sitesindeki online integrator ile yaptım sonuç yaklaşık olarak 0.0193828 çıktı. Durum simetrik olduğu için bu değeri 3 ile çarparız. Yeniden A1 üçgenine dönmek için  kök(3) ile çarparız. bulunan değeri ortadaki alandan, yani kök(3)/8'den, çıkartırız. sonucu toplam alana, yani kök(3)/2'ye oranlarsak sonuç yaklaşık 0.1337 çıkıyor.

2011/2/21 Kadir GÜLEÇ <kadir.gulec at spk.gov.tr<mailto:kadir.gulec at spk.gov.tr>>
<<Cevap telin uzunluğundan bağımsız çünkü alanlar oranlanıyor bu sebeple hesaplamaların basit olması açısından  telin uzunluğuna 1 birim diyelim.

sadece kenarlar üçgen oluşturuyorsa cevap 1/4 oluyor. şöyleki

x, y, z>0 için toplam olasılıkların oluşturduğu alan kök(3)/2, üçgen eşitlizlikleri için alan kök(3)/8. bu iki alan oranlanınca cevap 1/4 oluyor.

yükseklikler işin içine girince epeyce karışıyor. oluşan üçgenin alanına A diyelim.  o zaman x ile ilgili yükseklik 2A/x olur öyleyse

2A/x+2A/y>2A/z,
2A/z+2A/y>2A/x,
2A/x+2A/z>2A/y

Yani>>



<<1/x+1/y>1/z
1/z+1/y>1/x
1/x+1/z>1/y>>

Ben de bu eşitsizliklerde takılmıştım.
Buradan bir adım ileri geçemedim.
İntegral demişsiniz ama bu bana bir şey ifade etmiyor.
Size zahmet olmazsa, neyin integralini alacağız.
Bu eşitsizliklerden integral formülasyonunu nasıl yapacağız.

İlginiz için teşekkürler.

Kadir Güleç




eşitsizliklerini de sağlamak gerekiyor. Burdan sonra işin içine integral almak giriyor. Yaptığım hesaba göre cevap yaklaşık 0.1337.bunu bilgisayarla rastgele sayılar atarak yaptım cevap gene yaklaşık olarak 0.1337 çıkıyor.


2011/2/21 Kadir GÜLEÇ <kadir.gulec at spk.gov.tr<mailto:kadir.gulec at spk.gov.tr>>
Sonradan kafama bir şey takıldı

a/b oranı sürekli mi acaba
sanki 0-2 aralığında delikler var gibi
bunu nasıl kanıtlarız



<<Dişime göre bir soru olduğu için ilgilendim bu soruyla.
Bu kısmında bir sorun yok.
Ama oluşan üçgenin yüksekliklerinin üçgen oluşturma olasılığını bir türlü bulamadım.
İkizkenar üçgenler için basit bir çözüm buldum ama
Genel haline gelince tıkandım kaldım.

İkizkenar Üçgenler için bulduğum çözüm şöyle
Üçgen kenarları = b-a-b olsun
Yükseklikler de = hb,ha,hb olsun
ha.a=hb.b ==> hb=ha*(a/b)  (1)
a/b oranı 0-2 aralığında değişiyor
hb+ha>hb ve
hb+ha>ha
tek sorun hb+hb>ha eşitsizliğinde
2hb>ha==>hb>ha/2==>(1)==>ha*(a/b)>ha/2==>(a/b)>1/2==>
Olasılık=(3/2)/2=3/4

Genel halini çözen varsa merakla bekliyorum>>



<<Sadece üçgen eşitsizliğini üç kenar içinde uygulayıp,
x+y>8-x-y
x+(8-x-y)>y ve
y+8-x-y>x eşitsizliklerini elde edip
x+y>4, y<4 ve x<4 eşitsizliklerini koordinat eksenlerine çizmek
yeterli olacaktır. Ancak 8 birimlik çubuğu üçe bölmek için alacağımız
iki noktanın çakışık olacak kadar birbirlerine yakın olacakları
durumda x+y<8 eşitsizliğine de ihtiyacımız olacaktır. Verilen bu
eşitsizliğin grafiğinide eklersek oluşacak küçük üçgenin alanı 4.4/2=
8 ve büyük üçgenin alanı ise 8.8/2= 32 olacaktır. Bu sonuçların oranı
ise yani 1/4 bizden istenen üçgen oluşturma olasılığına eşit
olacaktır. Kolay gelsin.>>



Bu e-posta mesaji, mesajin alici kisminda belirtilmis olan kullanici icindir. Mesajin alicisi siz degilseniz lutfen dogrudan veya dolayli olarak mesaji kullanmayiniz, gondericiyi bilgilendirip mesajin tum kopyalarini siliniz. Bu mesaj icerisinde belirtilen gorusler ve bilgiler hicbir sekilde Sermaye Piyasasi Kurulu'na (SPK) atfedilemeyecegi gibi, SPK'yi baglayici da degildir. Nihayet, bilinen viruslere karsi kontrolleri elektronik olarak yapilmis olan bu mesajin sisteminizde yaratabilecegi zararlardan SPK sorumlu tutulamaz.

This e-mail is intended solely for the use of the individual or entity to whom it is addressed. If you are not the intended addressee of this message, you should not use this message directly or indirectly, please delete this message and all copies from your system and notify the sender immediately. Any opinions and information contained in this message are not given or endorsed by The Capital Markets Board of Turkey (CMB). CMB does not accept any legal responsibility whatsoever for the contents of this message. This message has been scanned for known computer viruses thence CMB is not liable for the occurrence of any system corruption caused by this message.
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org<mailto:sorular at matematikdunyasi.org>
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

Bu e-posta mesaji, mesajin alici kisminda belirtilmis olan kullanici icindir. Mesajin alicisi siz degilseniz lutfen dogrudan veya dolayli olarak mesaji kullanmayiniz, gondericiyi bilgilendirip mesajin tum kopyalarini siliniz. Bu mesaj icerisinde belirtilen gorusler ve bilgiler hicbir sekilde Sermaye Piyasasi Kurulu'na (SPK) atfedilemeyecegi gibi, SPK'yi baglayici da degildir. Nihayet, bilinen viruslere karsi kontrolleri elektronik olarak yapilmis olan bu mesajin sisteminizde yaratabilecegi zararlardan SPK sorumlu tutulamaz.

This e-mail is intended solely for the use of the individual or entity to whom it is addressed. If you are not the intended addressee of this message, you should not use this message directly or indirectly, please delete this message and all copies from your system and notify the sender immediately. Any opinions and information contained in this message are not given or endorsed by The Capital Markets Board of Turkey (CMB). CMB does not accept any legal responsibility whatsoever for the contents of this message. This message has been scanned for known computer viruses thence CMB is not liable for the occurrence of any system corruption caused by this message.
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org<mailto:sorular at matematikdunyasi.org>
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


Bu e-posta mesaji, mesajin alici kisminda belirtilmis olan kullanici icindir. Mesajin alicisi siz degilseniz lutfen dogrudan veya dolayli olarak mesaji kullanmayiniz, gondericiyi bilgilendirip mesajin tum kopyalarini siliniz. Bu mesaj icerisinde belirtilen gorusler ve bilgiler hicbir sekilde Sermaye Piyasasi Kurulu'na (SPK) atfedilemeyecegi gibi, SPK'yi baglayici da degildir. Nihayet, bilinen viruslere karsi kontrolleri elektronik olarak yapilmis olan bu mesajin sisteminizde yaratabilecegi zararlardan SPK sorumlu tutulamaz.

This e-mail is intended solely for the use of the individual or entity to whom it is addressed. If you are not the intended addressee of this message, you should not use this message directly or indirectly, please delete this message and all copies from your system and notify the sender immediately. Any opinions and information contained in this message are not given or endorsed by The Capital Markets Board of Turkey (CMB). CMB does not accept any legal responsibility whatsoever for the contents of this message. This message has been scanned for known computer viruses thence CMB is not liable for the occurrence of any system corruption caused by this message.


Bu e-posta mesaji, mesajin alici kisminda belirtilmis olan kullanici icindir. Mesajin alicisi siz degilseniz lutfen dogrudan veya dolayli olarak mesaji kullanmayiniz, gondericiyi bilgilendirip mesajin tum kopyalarini siliniz. Bu mesaj icerisinde belirtilen gorusler ve bilgiler hicbir sekilde Sermaye Piyasasi Kurulu'na (SPK) atfedilemeyecegi gibi, SPK'yi baglayici da degildir. Nihayet, bilinen viruslere karsi kontrolleri elektronik olarak yapilmis olan bu mesajin sisteminizde yaratabilecegi zararlardan SPK sorumlu tutulamaz.

This e-mail is intended solely for the use of the individual or entity to whom it is addressed. If you are not the intended addressee of this message, you should not use this message directly or indirectly, please delete this message and all copies from your system and notify the sender immediately. Any opinions and information contained in this message are not given or endorsed by The Capital Markets Board of Turkey (CMB). CMB does not accept any legal responsibility whatsoever for the contents of this message. This message has been scanned for known computer viruses thence CMB is not liable for the occurrence of any system corruption caused by this message.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110221/28543de5/attachment.htm>