[MD-sorular] Altın Paylaşma Problemi

[basakece can]

Bugün eski sayılara bir daha bakarken 2010-IV sayısındaki Altın Paylaşma Problemi(syf.63-64)'nin çözümünde bir sorun var gibi geldi. Soru'yu alıntı yapıyorum:

"A, B, C, D, E, F ve G isimli 7 kifli, 50 adet altnı aralarında paylaşlmak için bir oyun oynuyorlar. Her biri, gerektiğinde ceza olarak ödemek üzere yanlarında birer adet fazladan altın getirmiştir. A’dan başlayarak her biri sırayla altınların nasıl paylaşılması gerektiğine dair bir öneri sunacaktır. Eğer teklifi yapan dahil olmak üzere oyunda kalan oyuncuların yarısından fazlası (yarısı yetmiyor) teklifi kabul ederse altınlar buna göre dağıtılacak ve oyun bitecektir. Teklif kabul edilmezse teklifi yapan oyuncu oyundan atılacak, yanında getirdiği bir altın oyun sonunda en çok altını elde eden oyuncuya verilmek üzere elinden alınacak, teklif sırası bir sonraki oyuncuya geçecek ve oyun kalan oyuncularla devam edecektir. Her oyuncu oyun sonunda olabildiğince fazla altın elde etmeye çalıştığına ve tüm olasılıkları düşünerek hatasız oynadıklarına göre, oyun sonunda en çok altını alan oyuncu
 kimdir ve kaç altın alır?"

Sorunun çözmüne sondan başlıyor ve C teklif verene kadar her şey aynı: 
Yani Gye kadar tekliflerin kabul edilmemesi durumunda ve F nin teklif vermesi durumunda oyun (0,0,0,0,0,0,57) şeklinde bitiyor.

E bunları düşünerek:
(0,0,0,0,50,0,0) teklifini yapıyor, sonuç:  (0,0,0,0,55,1,1)

D bunları düşünerek: 
(0,0,0,48,0,1,1) teklifini yapıyor, sonuç:  (0,0,0,52,1,2,2)

Bundan sonra C (0,0,47,0,1,2,0) teklifini yapıyor (F yi G den daha çok sevdiği düşünülerek.
Burada F ye ya da G ye teklif yapması bir şeyi değiştirir mi diye düşündüm ve iki durumu da göz önünde bulundurarak devam ettim:
Bu durumda C nin teklifi
1/2 olasılıkla (0,0,47,0,1,2,0)     sonuç: (0,0,50,1,2,3,1)
1/2 olasılıkla (0,0,47,0,1,0,2)     sonuç: (0,0,50,1,2,1,3)

Bunu bilen B,
F veya G yi memnum etmek için oyun sonunda 1/2*3 + 1/2*1 = 2  den fazla altın almak isteyeceklerini düşünür (yani 3).
Toplam (kendisi dahil) + 4 oya ihtiyacı var. Biri kendisi, birini tek altın önererek D den alması kolay, C ye tabi ki hiç altın vermiyor, geriye kalan 3 oyuncuyu memnun etmek için aynı miktarda altın önermesi gerekiyor (E,F,G en az 3 altın aldıkları durumu kabul ederler.
Bu durumda B nin teklifi
1/3 olasılıkla (0,45,0,1,2,2,0)      sonuç: (0,47,1,2,3,3,1)
1/3 olasılıkla (0,45,0,1,2,0,2)      sonuç: (0,47,1,2,3,1,3)
1/3 olasılıkla (0,45,0,1,0,2,2)      sonuç: (0,47,1,2,1,3,3)

Bunu bilen A:
E,F,G yi memnun etmek için: 2/3*3+1/3*1 = 7/3 den fazla altın önermeli (yani 3)
Aynı şekilde D de oyun sonunda 3 altın aldığında kabul edecektir. C ye 1 altın vermek yeterli ve B yi memnun etme şansı yok.
Toplam kendisi dahil 4 oya ihtiyacı var:
Bu durumda A nın teklifi
1/6 olasılıkla (45,0,1,2,2,0,0)     sonuç: (46,1,2,3,3,1,1)
1/6 olasılıkla (45,0,1,2,0,2,0)     sonuç: (46,1,2,3,1,3,1)
1/6 olasılıkla (45,0,1,0,2,2,0)     sonuç: (46,1,2,1,3,3,1)
1/6 olasılıkla (45,0,1,2,0,0,2)     sonuç: (46,1,2,3,1,1,3)
1/6 olasılıkla (45,0,1,0,2,0,2)     sonuç: (46,1,2,1,3,1,3)
1/6 olasılıkla (45,0,1,0,0,2,2)     sonuç: (46,1,2,1,1,3,3)

Oyunda en çok altını alan tabi ki değişmiyor fakat aldığı altın sayısı değişiyor gibi. Diğer sonuç son durumda  (47,1,2,3,1,2,1)