[MD-sorular] yoğunluk

[E. Mehmet Kıral]

Dogal sayilarda mesela aritmetik diziler (arithmetic progression)
icerisindeki asallari sayiyorduk, (a,b) =1 ise an + b dizisinde
yaklasik olarak asallarin 1/phi (a) kadari oluyordu.

Ona benzer bir sey yapacagiz (ama tabii benzerlik hic de acik degil).
Tamsayilardan, dallanip budaklanmayan (unramified) bir p asali alip
onun frobenius elemanina bakalim. Eger K/Q abelyen bir cisim
genislemesi degilse bu frobenius elemani aslinda Gal(K/Q) grubunun bir
elemani degil, bir esleniklik sinifidir (conjugacy class). Simdilik
K/Q'nun abelyen bir cisim genislemesi oldugunu varsayalim. Boylece
frob_p hakikaten Gal(K/Q)'nun bir elemani.

Teorem odur ki;  p asallarini sayalim oyle ki frob_p Galois grubunun
belirli bir elemani diyelim sigma \in Gal(K/Q) olsun. Bu p'lerin tum
asallara orani
1/|Gal(K/Q| kadardir.

Eger cisim genislemesi abelyen degilse de frob p'nin bir esleniklik
sinifi, diyelim C, oldugu durumlari sayarsak, elde edecegimiz
asimptotik oran
|C|/ |Gal(K/Q)|

Alttaki cisim Q olmak zorunda degil, onu da bir sayi cismi
secebiliriz, L/K seklinde bir sayi cismi genislemesi alalim.
Sayi halkalarinda asal idealleri sayacagiz diyelim. Nereden
baslayalim. Dogal sayilardaki gibi dogru duzgun bir sira yok ki.

Idealin normuna gore sayalim.

Simdi asal ideallerin belirli altkumelerinin yogunluguna bakalim. Yani
belli bir norma kadar istedigimiz asal idealler, bolu tum idealler.

Yine ayni sekilde \mathfrak{p} \subset O_K idealinin frobenius
elemaninin belirli bir C eslenik sinifi olmasi orani

|C|/ |Gal(L/K)|.

Uygulama olarak Dirichlet yogunluk teoremini K = Q(\zeta_n) secerek
elde edebilirsiniz. Galois grubu (Z/nZ)*, grup abelyen, ve dallanmayan
bir p asalinin (bu durumda n'yi bolmeyen anlamina geliyor) frobenius
elemaninin ne yaptigi tam olarak modulo n neye denk olduguna karsilik
geliyor. (Bunun icin frobenius'un tanimi lazim, ama daha baska bir sey
pek gerekmiyor). Dolayisiyla teorem tam olarak Dirichlet yogunluk
teoremini vermis oluyor.

Daha baska uygulamalari da vardir elbet. Serre'in Chebatorev yogunluk
teoreminin bazi uygulamalari diye bir makalesi var. Okumadim, ancak
Serre ne ederse iyi eder mantigindan yola cikarak sizlerle
paylasiyorum. Anlayabildigim kadariyla elliptik egrilere (moduler
elliptik egriler ama artik aralarinda bir fark kalmadi) bir
uygulamasini getiriyor. (p| a_p olan asallarin yogunlugunun 0 oldugunu
mu gosteriyor ne). Fransizcamin olmamasi okuma istegimi azaltan bir
etken, ancak eger Fransizcaniz varsa, bakabilirsiniz.

2011/3/10 Egesel Azuz <egeselazuzi at gmail.com>:
> Merhaba chebotarev density theorem nedir ne işe yarar?
>
>
> Egesel
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral