[MD-sorular] Tam Bölünme

[dede]

Sayın Üyeler;


Aşağıda ki sorduğum kanıtı; üyelerden Serkan
Engüder’in


şahsıma özel gönderdiği Exell dosyasından
esinlenerek,


(kendisine ilgilendiği için teşekkür ediyorum)
aşağıda ki 


gibi yapabildim.(Hatam varsa bildirilmesi
ricasıyla):


P(x)=(x+1)^m*(x+2)^n*(x+3)^p*(x+4)^q*(x+5)^r


burada daha basit bir polinom olması için x yerine
x-3
koyalım:


R(x)=x^p*(x-1)^n*(x-2)^m*(x+1)^q*(x+2)^r
bulunur.


Bu yeni polinomu; R(x)=U(x)*V(x)
şeklinde yazalım.


Burada U(x) ve V(x)
polinomları;


U(x)=x^6*(x-1)^5*(x-2)^3*(x+1)^5*(x+2)^3
ve


V(x)=
x^(p-6)*(x-1)^(n-5)*(x-2)^(m-3)*(x+1)^(q-5)*(x+2)^(r-3)


Bu halde artık m>3,n>5,p>6,q>5,r>3 dır. m,n,p,q,r ve


x tamsayı olduğundan
V(x)'in pozitif bir tam sayı olacağı 


açıktır.Şu halde biz U(x)
polinomunun 8640 ile tam 


bölündüğünü kanıtlamamız yeterli olacaktır.


8640=(2^6)*(3^3)*(5)
olduğundan U(x) de x’in her pozitif
değeri 


için, 2^6, 3^3 ve 5
çarpanlarına tam bölündüğünü
göstermeliyiz.


x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)==0
Mod(5);


x(x-1)(x-2)==0
Mod(3);


x(x-1)(x+1)==0
Mod(3);


x(x+1)(x+2)==0
Mod(3);


x(x-1)(x-2)(x+1)==
0 Mod(2^3);


x(x-1)(x+1)(x+2)==
0 Mod(2^3),


olduğu kolayca görülebilir.(Bu eşitlikler çok kolay
kanıtlanabilir)


Bu modüler eşitliklerin sol taraflarının çarpımı, U(x) polinomuna 


eşit olduğundan; x’in herhengi bir değeri
içinU(x) polinomu 8640 


sayısına tam bölünecektir.x’ değeri için V(x) in pozitif bir tamsayı 


olacağını yukarıda verdim.Şu halde R(x) plinomu x’im pozitif tamsayı 


değerleri için daima 8640
sayısına bölünür.(Dolayısıyla P(x)
in de 


bölüneceği açıktır.) Önerme doğrudur.


Saygılarımla…


A.Kadir Değirmencioğlu




----- Özgün İleti -----
Kimden : "dede" 
Kime : md-sorular at matematikdunyasi.org
Gönderme tarihi : 15/03/2011 22:42
Konu : [MD-sorular] Tam Bölünme
Sayın Üyeler;

P(x)=(x+1)^m*(x+2)^n*(x+3)^p*(x+4)^q*(x+5)^r,

 polinomunda; 
style="font-weight: bold;">x>0; m>0; r>0; n>=2; p>=3;
q>=2; 

ve tam sayı olmaları kaydıyla, üsler ne
olursa olsun

(>=: Eşit veya büyük
demek) P(x)  
style="font-style: italic;">polinomu, 8640


sayısına TAM olarak bölünür.

Bu  önermenin yanlış mı/doğru mu olduğu nasıl kanıtlanır?

Saygılarımla...

A.Kadir Değirmencioğlu






_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110317/e8f5c7bb/attachment.htm>