[MD-sorular] Sabitin Bulunması

dede dede_47 at mynet.com
29 Mar 2011 Sal 23:15:44 EEST














 


Değerli Liste Üyeleri;
Fark
(difference) denklemlerin de DOĞURAN
FONKSİYON diye
(generating function) :


Bir Fn fark denkleminin genel çözümü  an ise, bu fark denkleminin
doğuran fonksiyonu  

G(x)=Toplam(n=0…∞: an
xn)=a0+a1x+a2x2+a3x3+….,
(1) şeklindedir.Yani Fn fark 

denkleminin an  genel çözümü , (1) doğuran fonksiyonun
katsayıları olmaktadır. 

G(x)
fonksiyonu kapalı olarak bulunabilirse, bunun x=0
da McLaurin serisine açılımında (x^n) lerin 

n=N 
için katsayıları, aN nümerik çözümü olacaktır. Şimdi; an=nan-1,  a0=1;
(2) fark denklemini 

göz önüne alalım.Bunun çözümü kolayca; an=n!;
(3)  olarak bulunur. Bu çözümü katsayı
olarak 

kabul eden kuvvet fonksiyonunu (yani doğuran
fonksiyonu) bulalım:


G(x)=
Toplam(n=0…∞: (an-nan-1)
xn)


       = a0+
(a1-a0)x+ (a2-2 a1)
x2+
(a3-3 a2) x3+ (a4-4
a3)x4+….=0; 
(4) 



Bu ifade gruplanırsa: (a1x+a2x2+a3x3+a4x4+....)=:(a0x+2a1x2+3a2x3+4a3x4+....);        (5)


                  
             (a1x+a2x2+a3x3+a4x4+....)-
a0x =:( 2a1x2+3a2x3+4a3x4+....);     
(5a)




bulunur.Başlangıç koşulu, a0=1, de
kullanılarak (5a) eşitliğinin sol
tarafı (1) ile karşılaştırılırsa bunun 

G(x)-1-x,  bu eşitliğin sağ
tarafının ise,
x(xG(x)-x)’=x2G(x)’+xG(x)-x;
olduğu görülebilir.
Bunlardan,
x2G(x)’+(x-1)G(x)= -1; (6)
diferansiyel denklemi bulunur. (6) dif.denkleminin 

genel çözümü:
G(x)=(C+E(1/x))e1/x/x  dır.(7);Burada C bir sabit
olup,

E(1/x)=Tümlev(t=-1/x…∞: (e1/t/t)dt) dır. (Not:G(x)’; G(x) in
x’e göre 1.
türevi demek) 


Sorun, (7) eşitliğinde
ki C sabitini bulmaktır.Öyle ki C sabitinin değeri ne
olursa olsun:


Limit(x→0,
G(x)=1); 
ve genel olarak, Limit(x→0,
G^(n)(x)/n!=n!) dır.(G^(n)(x) demek,G(x)


fonksiyonunun x'e göre  (n.) inci türevi demektir)
Ayrıca; G(1)=0!+1!+2!+3!+4!+…..
=sonsuz, 


G(-1)=0!-1!+2!-3!+4!-+….=belirsizdir.(Ayrıca G(x) in x'e göre türevlerinden birinin dahi, x=a için
değeri bilinmemektedir.)





Ana soru: x’in hangi değerinden bu C sabiti
bulunabilir?Yani nasıl bir
başlangıç koşulu 


olmalı ki, C sabiti bulunabilsin? 

Saygılarımla...
A.Kadir
Değirmencioğlu








-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110329/2b170c57/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi