[MD-sorular] çılgın olmayan soru

[Umit Bozkir]

  Merhaba,

On Thu, 5 May 2011, Mahlika Kuban wrote:

>
> Bir küre yüzeyi üzerinde en kısa yol nasıl belirlenir?

  Bunu pratikte iki sekilde yanitlamak mumkun. Eger siz kure uzerindeki 
dogrusal en kisa yolu merak ediyorsaniz, buna zahiri yol diyelim, kus 
ucusu mesafeyi olcersiniz. Bunun icin de bahsedilen "ip germe" yontemi de 
dahil bir cok yontem kullanabilirsiniz. Ancak siz "gercek mesafe"yi olcmek 
isterseniz bu bir yay uzunlugu olur ki isin icine "pi sayisi" girer.

  Kabaca bu yontemler icin 3 boyuttan 2 boyuta gecmek, hatalarina 
ragmen, isi kolaylastirir. Yani kure yuzeyini bir daire uzerine 
izdusurmek gerekir. Bunun icin de kurenin sonsuz incelikte olan, sonsuz 
tane daireden olustugunu ve bizim bu dairelerden ozel olan biri 
(Noktalarimizi kapsayan) uzerinde calistigimizi dusunelim. Hatta bu daire 
kahvalti yaptigimiz yuvarlak masamiz olsun. Bu yuvarlak masanin ustunde, 
ayri herhangi iki nokta uzerinde bulunan, tuzluk ve biberligin arasindaki 
mesafeyi olcmek istersek; biri tuzlukta digeri biberlikte sonlanan, 
dairenin merkezinden gecen iki dogruyla calistigimizi dusunelim. En kaba 
haliyle ortaya bir ucgen veya ayni dogru uzerinde olan uc nokta cikar :

i)
    O
    .
   / \
T/___\B


ii)

T__.O__B


  Dogru uzerindeki iki nokta arasindaki mesafeyi hesaplamak basit bir olcme 
isiyken, ucgenin de kenar uzunluklarini hesaplamak o kadar zor olmasa 
gerek. Burada hesapladigimiz uzunluk, hesaplamayi dusundugumuz yayin 
kendisinin (TB) ya da kirisinin |TB| uzunlugu aslinda :

        O
        .
       / \
      /   \
     /     \
    /       \
  T._________.B
     .  .  .


  Goruldugu gibi kirisin uzunlugunu duzlemsel yuzey uzerindeki geometrik 
denklemlerle (Pisagor, cember/daire) bulabilirsiniz.

  Yayin uzunlugunu ise, (TOB) acisini (a acisi diyelim) biliyorsaniz ;

  2 x pi x r x (a)/360

  denkleminden bulabilirsiniz.


> Elipsoid üzerinde nasıl?

  Hemen hemen ayni sekilde calisabilirsiniz. Ancak genel yontemin bir 
egrinin/dogrunun uzunlugunu bulmaya yonelik olmasini ve hatanizin mumkun 
oldugunca da az olmasini isterseniz boyut, turev ve integral mefhumlarini 
kullanmaniz gerekir. Bu yontem icin size oncelikle egrinin denklemi 
gerekir. Kabaca egri denkleminin turevini alirsiniz, kirisleri bulursunuz.
Sonra bu kirisleri toplar en kisa yolu bulmaya calisirsiniz.

  Hatirladigim kadariyla elipsoidin genel denklemi :

  (x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1

  seklindeydi. Bu denklemin her degiskeni icin turevini alip, integralle 
belli araliklar icin uzunlugu bulabilirsiniz. Bunun icin uc katli 
integrallerle ugrasmak gerekir sanirim. Ya da bunu iki boyuta iz 
dusurup, belli bir hata payiyla, integral hesabi sonucunda bir yol 
bulursunuz. Tahmin edebileceginiz gibi bu her zaman en kisa yol olmaz. 
Bunun icinse baska denklem ve islemlerle optimizasyon gerekebilir.

> Yerküre aslında kendine özgü, geoid 
> olarakadlandırılan bir geometrik figür olduğuna göre nasıl?

  Geoidin denklemini biliyorsaniz yukarida bahsettigim yontemlerle 
calisabilirsiniz. Ancak bunu bu sekilde uygularsaniz, gittiginiz yolun 
sonu istediginiz noktaya ulasmayabilir. Ucaklariniz yanlis yere inebilir 
veya uydulariniz yorungelerinden cikabilir. Bunun icin duzlemsel geometri 
yetmez. Burada kullandiginiz geometriyi degistirmeniz gerekir. Riemann 
geometrisi veya Euler uygulamalari bu tur isler icin sanirim. Yani genel 
olarak duzlemsel degil, egrisel geometride calismaniz gerekir. Yine kabaca bir 
ornek vermek gerekirse, buradaki paraleller sonsuzda degil, belli bir 
noktada kesisir. Buna da genelde "kutup" denilir. Kutbunuza olan uzakligi 
(Meridyen-Paralel) biliyorsaniz, iki nokta arasindaki en kisa yolu da 
bulabilirsiniz.

  Fikir vermesi acisindan cografi koordinat sistemlerine bakmak yararli 
olabilir.

  Iyi calismalar.