[MD-sorular] free group üzerinde basit rastgele yürüyüş

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
15 Eki 2011 Cmt 03:50:45 EEST


Simdi fark ettim ki basa donme ihtimalimiz 1/3 degil. Daha az.

2. hamlede geri donmek 4. hamlede geri donmek vs.vs. bagimsiz olaylar
olmadigindan, eninde sonunda basa donmenin ihtimali bunlarin toplami degil.

2011/10/14 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>

> Geri donen rasgele yuruyusler icinde ilk kacinci hamlede tekrar baslangic
> noktasina gelmesi bir "random variable" olsun. Bu rasgele degisken'in
> beklentisi nedir. Yani yol geri donecekse ilk ne zaman donmesi beklenir.
>
>  Cevabi bulamadim ama cevap 2'ye oldukca yakin, 8/3'ten kucuk olmasi
> gerektigini soyle gosterebilirim.
>
> Bir kere ozgur grupta hic iliski olmadigindan, ancak geldigimiz yolu geri
> teperek basladigimiz noktaya gelebiliriz. Bu da sadece cift sayili adimlarda
> baslangica gelebilecegimizi gosterir. 2n. adimda 1'e gelme olasiligimiz icin
> bir hesap 1/4^n olabilir. Tabii bu olasilik daha once 1'e ugramis olma
> olasiligimizi hesaba katmiyor. Yani ilk defa 2n. hamlede basa gelme
> olasiligimiz daha dusuk. Bir tek 2. hamlede geri donme olasiligi 1/4 aynisi.
> Bu sayiyla hesabi yaparsak,
>
> SUM 2n/4^n = 8/9.
> Bir de kendimizi geri donusu olan rasgele yollar altkumesine (olcumu 1/3
> olan bir altkume) kisitladigimizdan, olcumuzu (measure) tekrar olasilik
> olcusu olacak sekilde normalize edersek, beklenti
> 8/3'ten kucuk olur. Kucuk olacagini biliyoruz cunku buldugumuz sayi 2 ile 4
> arasinda, ve 4 ve 4'ten buyuk tum degerlerin olasiligini fazla fazla
> hesapladik.
>
> Ozyinelemeli (recursive) bir bicimde ilk defa 2n. hamlede 1'e gelme
> olasiligini bulabilirim, ancak bunun kapali bir yolunu bulacak ve kacinci
> hamlede geri donecegimiz beklentisini hesaplayacak var mi?
>
> 2011/10/14 İrem Portakal <pirem at hotmail.com>
>
>>
>> Anladım! Teşekkürler.
>>
>> İrem.
>>
>> > Date: Sat, 15 Oct 2011 02:02:26 +0300
>> > From: anesin at nesinvakfi.org
>> > To: pirem at hotmail.com
>>
>> > Subject: Re: [MD-sorular] free group üzerinde basit rastgele yürüyüş
>> >
>> >
>> > Evet!
>> > 1'den uzaklasmak, 1'e yakinlasmak olarak dusun. Olasiliklar 3/4 ve 1/4.
>> > A
>> >
>> > On 15.10.2011 02:01, İrem Portakal wrote:
>> > >
>> > > Evet, 1 olması gerekir.Ama olasılığın neden 1/3 olduğunu anlayamadım.
>> Makaleye göre, p'yi 1/4 q'yu 3/4 gibi mi düşünmemiz gerekiyor?
>> > >
>> > >> Date: Sat, 15 Oct 2011 01:23:54 +0300
>> > >> From: anesin at nesinvakfi.org
>> > >> To: pirem at hotmail.com
>> > >> CC: md-sorular at matematikdunyasi.org
>>
>> > >> Subject: Re: [MD-sorular] free group üzerinde basit rastgele yürüyüş
>> > >>
>> > >>
>> > >> Evet, tanim boyleyse, F_2 recurrent olamaz. Ama bunu kanitlamak icin
>> > >> referans verdigim makale yeter saniyorum. O makaleden su cikar: 1'den
>> > >> baslayip rastgele yuruyusun bir defa daha 1'e gelme olasiligi 1/3.
>> Demek
>> > >> ki sonsuz defa 1'den gecme olasiligi 0.
>> > >> Rastgele yurusuyusun sonsuz defa 1'den gecme olasiliginin pozitif
>> olmasi
>> > >> icin, 1'den baslayan bir sonsuz yuruyusun bir defa daha 1'e gelme
>> > >> olasiliginin 1 olmasi gerekmez mi?
>> > >> A
>> > >>
>> > >>
>> > >> On 15.10.2011 00:53, İrem Portakal wrote:
>> > >>> Evet, (F_{2}, {a^(+1,-1), b^(+1,-1)}) ile kastettiğim free grubun
>> Cayley çizgesi. Yani elimizde 4-regular tree var.Recurrent olmak da şu
>> şekilde tanımlanıyor: Bir basit rasgele yürüyüşe recurrent diyoruz eğer bu
>> yürüyüş boyunca grubun etkisiz elemanını pozitif olasılıkla sonsuz defa
>> ziyaret ederse.
>> > >>> Önerdiğiniz makale işime yaradı teşekkürl er.
>> > >>> Ama sanırım bir de, biraz hileyle (ve ispatlanması gereken bir sürü
>> teoremle) recurrent olmadığına şöyle ulaşabiliyoruz. Çizgemiz, Liouville
>> değilse recurrent değildir. Non-amenable gruplar Liouville değildir. Free
>> grup non-amenable olduğundan ilgili çizge recurrent değildir (!).
>> > >>>> Date: Thu, 13 Oct 2011 07:33:10 +0300
>> > >>>> From: anesin at nesinvakfi.org
>> > >>>> To: luzumi at gmail.com
>> > >>>> CC: pirem at hotmail.com; md-sorular at matematikdunyasi.org
>> > >>>> Subject: Re: [MD-sorular] free group üzerinde basit rastgele
>> yürüyüş
>> > >>>>
>> > >>>> O zaman sozunu ettigim makale cozum yolunu gosterir.
>> > >>>> A
>> > >>>>
>> > >>>> On 13.10.2011 06:52, E. Mehmet Kıral wrote:
>> > >>>>> Internette recurrent rasgele yuruyusun tanimi farkli veriliyor
>> ancak. Eger
>> > >>&gt ;>> basladigin noktaya kesin olarak geri donuyorsan ona yinelenen
>> yuruyus
>>
>> > >>>>> deniyor.
>> > >>>>>
>> > >>>>> Amac geri donme ihtimalinin 1 olmadigini gostermek oldugu icin
>> geri donme
>> > >>>>> olasiliginin en az 1/3 olmasi bununla celismiyor.
>> > >>>>>
>> > >>>>> 2011/10/12 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>> > >>>>>
>> > >>>>>> **
>> > >>>>>>
>> > >>>>>> Problemi dogru anliyor muyum acaba?
>> > >>>>>> 1'den basliyorsun ve her adimda bir onceki elemani (diyelim)
>> soldan a,
>> > >>>>>> a^{-1}, b ve b^{-1} ile esit (yani 1/4) olasiliklarla
>> carpiyorsun. Tekrar
>> > >>>>>> 1'e gelme olasiligindan soz ediyorsak, daha ikinci adimda 1/4
>> olasilikla
>> > >>>>>> geri donuyorsun.
>> > >>&g t;>>> Sanirim 1/3 olasilikla bir zaman sonra 1'e geri donersin.
>>
>> > >>>>>>
>> http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/118_122_cekirge.pdf yazim
>> > >>>>>> belki sana bir fikir verebilir.
>> > >>>>>> A
>> > >>>>>>
>> > >>>>>>
>> > >>>>>> On 13.10.2011 01:41, İrem Portakal wrote:
>> > >>>>>>
>> > >>>>>> Merhaba,
>> > >>>>>> (F_{2}, {a^(+1,-1), b^(+1,-1)}) üzerinde basit rastgele yürüyüşün
>> recurrente olmadığını gösterin.
>> > >>>>>> F_{2}, iki elemanla gerilmiş free group'u temsil ediyor.Bu cevabı
>> oldukça uzun olan bir soru olabilir. Düşünmeye nereden başlamalıyız diye
>> fikir almak istedim.
>> > >>>>>> İrem.
>> > >>>>>>
>> > >>>>>>
>> > >>>>>>
>> > > >>>>>
>> > >>>>>> _______________________________________________
>> > >>>>>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://
>> lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>> > >>>>>>
>> > >>>>>>
>> > >>>>>> _______________________________________________
>> > >>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>> > >>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>> > >>>>>>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>> > >>>>>>
>> > >>>
>> > >
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> Eren Mehmet Kıral
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111014/9893fc7a/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi