[MD-sorular] kombinasyon e

[E. Mehmet Kıral]

Zorunda değildir. Örneğin f(z) = e^{z}+ e^{2z}+ e^{3z} olsun ve g(z) =
e^{2z}+ e^{3z}

olsun. Bunlarin  en azindan birer kokleri oldugunu, kanitlamis olduk. Hatta
buradan sonsuz kokleri oldugunu da cikarabiliriz sanirim, yoksa sonlu koku
olsa, f(z)/(z-z_0)(z-z_1)...(z- z_n) fonksiyonu da order'i 1 olan ancak
kökü olmayan bir fonksiyon olacak, yani e^{az+b} biciminde olmasi
gerekecek. Bu da f(z) = e^{az+b}(z-z_0)... (z-z_n) biçiminde yazılması
anlamına gelir.
Belki mümkündür, ama hiç sanmam.
Hele ki yukarıda seçtiğimiz f fonksiyonu için kesinlikle mümkün değildir.
Asimptotik sebeplerden a = 3 olması gerektiğini görebiliriz. Daha sonra da
her iki tarafı e^{3z}'ye bölersek, ve pozitif reel eksende ilerlersek, sol
tarafın 1'e yakınsayacağını, ancak sağ tarafın ise n gücünde bir polinom
gibi sonsuza ıraksayacağını görürüz.
Biraz daha düşününce bu argümanın yukarıda yazdığınız gibi genel f'lere de
genelleştirilebileceğine ikna oldum.

Yani f ile g'nin her ikisinin de sonsuz adet kökü vardır.
Yine de f ile g'nin hiçbir ortak kökü yoktur. Olsa, o kökler kümesi f -
g'nin sıfırları kümesinin içerisinde yer alır. Ancak f - g = e^z hiçbir
kökünün olmadığını bildiğimiz güzide bir fonksiyondur.


2012/4/22 zati lokum <zati.lokum at gmail.com>

> Çok teşekkürler.
> Bence kanıt doğru.
> Peki birden fazla (mesela 2 )bu tip exponensiyel fonksiyon alsak,
> f= e^{a_1z} + ... + e^{a_n z}  ve  g= e^{b_1z} + ... + e^{b_m z},
> bu fonksiyonların ortak kökü olmak zorunda mıdır?
> Bu tür fonksiyonların genel olrak sonsuz kökü olmak zorunda mıdır?
>
> zl
>
> 2012/4/22 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
>
>> Merhaba, hata yapiyor olabilirim ama soyle bir kanit oneriyorum. Kok
>> vardir.
>>
>> Fonksiyona f adini verelim ve diyelim ki koku olmasin. O zaman g her
>> yerde holomorfik bir fonksiyon olmak uzere
>> f(z) = e^g(z)
>> biciminde yazilabilir. Ayni zamanda f'nin biciminden buyume orderinin 1
>> oldugunu goruyoruz. Demek ki g birinci dereceden polinom hizinda buyuyen
>> bir her yerde holomorfik fonksiyon olmali, yani 1. derecedn bir polinomun
>> ta kendisi olmali.
>>
>> Demek ki eger hicbir koku yoksa
>>
>> f(z) = e^{a_1z} + ... + e^{a_n z} = e^{az + b}
>>
>> esitligi gecerli olmalidir. Bu da olamaz. n = 0 koyunca b = log n
>> oldugunu goruyoruz. Sag taraftaki ifadesine gore f(z)/ n pfonksiyonu
>> toplamayi carpmaya donusturuyor. Sol taraftaki ise bunu yapmaktan aciz.
>> Celiski, demek ki bu fonksiyonun kompleks koku olmak zorunda.
>>
>>
>> 2012/4/22 zati lokum <zati.lokum at gmail.com>
>>
>>>  Merhabalar,
>>> a1,....,an birbirinden farklı kompleks sayılar olsunlar ve n > 1 olsun.
>>>
>>> O zaman e^a1z +....+e^anz fonksiyonunun komplekslerde kökü olmak zorunda
>>> mıdır?
>>>
>>> Zl
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Eren Mehmet Kıral
>>
>
>


-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120422/62e28e9d/attachment.htm>