[MD-sorular] doğal sayılar

[Burak Kaya]

Sanırım Zehra Karadavut  sonlucu (ultrafinitist 
[http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism] / finitist 
[http://en.wikipedia.org/wiki/Finitist]) matematik felsefesine sahip 
kişilere denk gelmiş.

Öncelikle bu kişilerden kaçın yorumuna yorum yapayım. Her ne kadar 
matematikçilerin çoğuna baktığınızda çok nadir rastlanan bir şey olsa 
da, sonlucu matematik felsefesine sahip iyi matematikçiler yok de değil 
(http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger). Doğal sayıların küme 
olarak varlığına inanmayan hatta PA'nın (Peano Aksiyomları) tutarsız 
olduğunu kanıtlamaya çalışanları da mevcut 
(http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Nelson). Varmaya çalıştığım nokta, 
size bana "absürt" gözükmesi, saçma bir inanış olduğu anlamına gelmiyor. 
Hatta bu felsefelere sahip olmasın, matematiğe formalist olarak yaklaşan 
birisi tamamen kişisel zevkleri nedeniyle ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom 
of Infinity (yani sonsuz bir kümenin olmadığı kümeler teorisi) ile 
çalışmayı tercih edebilir.

Kişisel görüşüme geçeyim konu hakkındaki: Doğal sayıları ya da PA'yı 
reddetmek gereksiz bir zorlama gibi geliyor bana. Doğal sayılardan 
başlayayım. Sayı kavramı, sayma kavramı, bir sayından bir sonraki sayı 
kavramı; düşünme mekanizmanızın bir parçası olarak size zihninizle gelen 
şeyler. Dolayısıyla felsefi bir tartışmaya girmeden bir kişiyi içinde 
bir şey barındırmayan topluluk, içinde bir tek içinde şey barındırmayan 
topluluğu barındıran topluluk,... şeklinde 0,1,2,3,... sayılarının var 
olduğuna (her ne demekse!) ikna edeceğinizi düşünüyorum. İnsanların 
itiraz etmeye çalıştığı nokta, bu işin "sonu" olmadığı için bunların 
tamamını barındıran bir topluluğun "var" olmadığı. Bu noktada 
tercihleriniz devreye giriyor, ben büyüklükleri git gide artan 
topluluklar görüyorum ve o işin bir sonu olmadığı için bunların hepsini 
kapsayan bir topluluğun var olduğuna inanmayı tercih ediyorum, çünkü 
bunu engelleyen bir şey yok. Bazıları da bunu kabul etmiyor.

PA'ya gelelim. Eğer doğal sayıların varlığına inanıyorsanız, PA doğru ve 
tutarlıdır. Bu son cümlemde matematiksel bir iddiada bulunmuyorum. 
Sadece zihninize yavaş yavaş oluşturduğunuz o kümenin sahip olduğunuz 
aksiyomları sağlayacağına kendinizi ikna etmeniz çok sorun değil, ve 
buna inandığınız anda da (yani doğal sayılar kümesinin var olduğuna ve 
PA'nın aksiyomlarını sağladığına) PA'nın tutarlı olduğuna da inanmış 
oluyorsunuz çünkü ortada bir modeliniz var.

Gene tekrarlıyorum, burada matematiksel bir iddiada bulunmuyorum çünkü 
Gödel'in gösterdiği üzere, birincil derece mantığı aritmetize 
ettiğinizde (yani formülleri çıkarım kurallarını kanıtları vs.'yi 
aritmetiğin içine kodladığınızda), PA'nın tutarlı olduğunu iddia eden 
Con(PA) cümlesi (kabaca "Her n doğal sayısı için n, '0=1'i kodlayan bir 
kanıt değildir" şeklinde bir anlamı var), PA tarafından kanıtlanamaz.

Öte yandan bu, eğer doğal sayılara inanıyorsanız, PA'nın tutarlı 
olduğuna inanmanız gerektiğiyle ilgili sezgisel argümanı çürütmüyor 
(ortada model varsa tutarlılık var olmak zorunda). Ama mesela Edward 
Nelson gibi buna ikna olmamış ünlü matematikçiler de mevcut!

Gene de sayı ve sayma kavramı o kadar zihninizin temel işleyiş yapısının 
bir parçası olarak doğal geliyor ki, bence Descartes görseydi şöyle 
derdi: Düşünüyorum, öyleyse PA!

Konuyla kısmi olarak alakalı, kısmi olarak alakasız olacak ama gene de 
ekleyim: Doğal sayılar, \omega, bence varlığını birilerine ikna etmek 
için gene az eforun gerektiği ordinal sayılardan, en azından az çok 
görebiliyorsunuz. İşi ileri götürüp varlığı ZFC'den bağımsız büyük 
kardinallerin var olduğunu bu kadar bariz argümanlar sunmayarak oyuncak 
gibi kabul eden bir yığın küme teoricisi var, onlar da matematiksel 
komünitenin kalan kısmından doğal sayılara inanmayanların inanlara 
gösterdiği tepkilerin kademe atlamışlarından görüyor! :)

On 12/17/2012 5:11 PM, Ali Nesin wrote:
>
> Tum matematige.
> Matematik dogada var ya da yok sorusundan once bence var olmanin ne 
> demek oldugu anlasilmali.
> Matematiksel kavramlar elbette bir zurafanin var oldugu gibi yoklar 
> ama bir bicimde varlar ki onlarla ilgili konusabiliyoruz ve 
> birbirimizle anlasibiliyoruz.
> (Zurafanin da ne anlamda var oldugu tartisilmali.)
> Bu derin metafiziksel konulari ilerde kuracagimiz Ilahiyat Koyu'nde 
> tartisacagiz insallah!
> A
>
>
> On 17.12.2012 23:37, E. Mehmet Kıral wrote:
>> Tamamen haksız değil dediniz. Bahsedilen tamsayılar olmasaydı da 
>> sonlu bir
>> halka olsaydı mesela, bu durumda da aynı şeyi düşünür müydünüz?
>>
>> Anlamak istediğim, tavrınız tüm matematiksel nesnelere mi karşı yoksa
>> sonsuz matematiksel nesnelere mi?
>>
>>
>> 2012/12/17 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>> "Olmak" fiilinin ne demek oldugunu aciklamasini isterdim ve tartismanin
>>> sonunda uzlasma arardim. Cunku karsinizdaki tamamen haksiz degil.
>>> A
>>>
>>>
>>> On 16.12.2012 22:21, Zehra Karadavut wrote:
>>>
>>> Eğer birisi size doğal sayıların aslında olamayacağını ve peano 
>>> aksiyomlarının tamamen hayali olduğunu söyleseydi nasıl bir 
>>> matematiksel savunma yapardınız?
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta 
>>> listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular