[MD-sorular] doğal sayılar
Burak Kaya
burakvonkaya at gmail.com
18 Ara 2012 Sal 03:55:35 EET
Sanırım Zehra Karadavut sonlucu (ultrafinitist
[http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism] / finitist
[http://en.wikipedia.org/wiki/Finitist]) matematik felsefesine sahip
kişilere denk gelmiş.
Öncelikle bu kişilerden kaçın yorumuna yorum yapayım. Her ne kadar
matematikçilerin çoğuna baktığınızda çok nadir rastlanan bir şey olsa
da, sonlucu matematik felsefesine sahip iyi matematikçiler yok de değil
(http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger). Doğal sayıların küme
olarak varlığına inanmayan hatta PA'nın (Peano Aksiyomları) tutarsız
olduğunu kanıtlamaya çalışanları da mevcut
(http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Nelson). Varmaya çalıştığım nokta,
size bana "absürt" gözükmesi, saçma bir inanış olduğu anlamına gelmiyor.
Hatta bu felsefelere sahip olmasın, matematiğe formalist olarak yaklaşan
birisi tamamen kişisel zevkleri nedeniyle ZFC-Axiom of Infinity+~Axiom
of Infinity (yani sonsuz bir kümenin olmadığı kümeler teorisi) ile
çalışmayı tercih edebilir.
Kişisel görüşüme geçeyim konu hakkındaki: Doğal sayıları ya da PA'yı
reddetmek gereksiz bir zorlama gibi geliyor bana. Doğal sayılardan
başlayayım. Sayı kavramı, sayma kavramı, bir sayından bir sonraki sayı
kavramı; düşünme mekanizmanızın bir parçası olarak size zihninizle gelen
şeyler. Dolayısıyla felsefi bir tartışmaya girmeden bir kişiyi içinde
bir şey barındırmayan topluluk, içinde bir tek içinde şey barındırmayan
topluluğu barındıran topluluk,... şeklinde 0,1,2,3,... sayılarının var
olduğuna (her ne demekse!) ikna edeceğinizi düşünüyorum. İnsanların
itiraz etmeye çalıştığı nokta, bu işin "sonu" olmadığı için bunların
tamamını barındıran bir topluluğun "var" olmadığı. Bu noktada
tercihleriniz devreye giriyor, ben büyüklükleri git gide artan
topluluklar görüyorum ve o işin bir sonu olmadığı için bunların hepsini
kapsayan bir topluluğun var olduğuna inanmayı tercih ediyorum, çünkü
bunu engelleyen bir şey yok. Bazıları da bunu kabul etmiyor.
PA'ya gelelim. Eğer doğal sayıların varlığına inanıyorsanız, PA doğru ve
tutarlıdır. Bu son cümlemde matematiksel bir iddiada bulunmuyorum.
Sadece zihninize yavaş yavaş oluşturduğunuz o kümenin sahip olduğunuz
aksiyomları sağlayacağına kendinizi ikna etmeniz çok sorun değil, ve
buna inandığınız anda da (yani doğal sayılar kümesinin var olduğuna ve
PA'nın aksiyomlarını sağladığına) PA'nın tutarlı olduğuna da inanmış
oluyorsunuz çünkü ortada bir modeliniz var.
Gene tekrarlıyorum, burada matematiksel bir iddiada bulunmuyorum çünkü
Gödel'in gösterdiği üzere, birincil derece mantığı aritmetize
ettiğinizde (yani formülleri çıkarım kurallarını kanıtları vs.'yi
aritmetiğin içine kodladığınızda), PA'nın tutarlı olduğunu iddia eden
Con(PA) cümlesi (kabaca "Her n doğal sayısı için n, '0=1'i kodlayan bir
kanıt değildir" şeklinde bir anlamı var), PA tarafından kanıtlanamaz.
Öte yandan bu, eğer doğal sayılara inanıyorsanız, PA'nın tutarlı
olduğuna inanmanız gerektiğiyle ilgili sezgisel argümanı çürütmüyor
(ortada model varsa tutarlılık var olmak zorunda). Ama mesela Edward
Nelson gibi buna ikna olmamış ünlü matematikçiler de mevcut!
Gene de sayı ve sayma kavramı o kadar zihninizin temel işleyiş yapısının
bir parçası olarak doğal geliyor ki, bence Descartes görseydi şöyle
derdi: Düşünüyorum, öyleyse PA!
Konuyla kısmi olarak alakalı, kısmi olarak alakasız olacak ama gene de
ekleyim: Doğal sayılar, \omega, bence varlığını birilerine ikna etmek
için gene az eforun gerektiği ordinal sayılardan, en azından az çok
görebiliyorsunuz. İşi ileri götürüp varlığı ZFC'den bağımsız büyük
kardinallerin var olduğunu bu kadar bariz argümanlar sunmayarak oyuncak
gibi kabul eden bir yığın küme teoricisi var, onlar da matematiksel
komünitenin kalan kısmından doğal sayılara inanmayanların inanlara
gösterdiği tepkilerin kademe atlamışlarından görüyor! :)
On 12/17/2012 5:11 PM, Ali Nesin wrote:
>
> Tum matematige.
> Matematik dogada var ya da yok sorusundan once bence var olmanin ne
> demek oldugu anlasilmali.
> Matematiksel kavramlar elbette bir zurafanin var oldugu gibi yoklar
> ama bir bicimde varlar ki onlarla ilgili konusabiliyoruz ve
> birbirimizle anlasibiliyoruz.
> (Zurafanin da ne anlamda var oldugu tartisilmali.)
> Bu derin metafiziksel konulari ilerde kuracagimiz Ilahiyat Koyu'nde
> tartisacagiz insallah!
> A
>
>
> On 17.12.2012 23:37, E. Mehmet Kıral wrote:
>> Tamamen haksız değil dediniz. Bahsedilen tamsayılar olmasaydı da
>> sonlu bir
>> halka olsaydı mesela, bu durumda da aynı şeyi düşünür müydünüz?
>>
>> Anlamak istediğim, tavrınız tüm matematiksel nesnelere mi karşı yoksa
>> sonsuz matematiksel nesnelere mi?
>>
>>
>> 2012/12/17 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>> "Olmak" fiilinin ne demek oldugunu aciklamasini isterdim ve tartismanin
>>> sonunda uzlasma arardim. Cunku karsinizdaki tamamen haksiz degil.
>>> A
>>>
>>>
>>> On 16.12.2012 22:21, Zehra Karadavut wrote:
>>>
>>> Eğer birisi size doğal sayıların aslında olamayacağını ve peano
>>> aksiyomlarının tamamen hayali olduğunu söyleseydi nasıl bir
>>> matematiksel savunma yapardınız?
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta
>>> listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi