[MD-sorular] bir olasilik sorusu
Ali Nesin
anesin at nesinvakfi.org
31 Oca 2012 Sal 22:27:04 EET
{1} kumesini ele alalim.
1sayisini gercel sayilar arasindan rastgele secimle secmek mumkun olmadigi icin bu kumede eleman yok mu diyecegiz?
Bir elemanin secilme olasiligiyla o elemanin bir kumeye ait olup olmamasi arasinda nasil bir iliski olabilir ki? Ve neden olsun ki?
Bir baska ornek: A, uniform dagilimda secilme olasiligi 0 olan reel sayilardan olussun. A = R olur elbette. Ama Kerem Altun'un mantigina gore A boskumedir...
Aslinda bir suru ilginc noktaya parmak basilmis. Simdilik bu kadarlik yazayim.
AKerem Altun <kerem.altun at gmail.com> yazdı:>Evet dogru, hic bu sekilde dusunmemistim.
>
>"(0,1) araligindan rastgele secilen tek bir sayidan olusan kume" boskume mi
>yani?
>
>Kerem
>
>
>2012/1/30 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>
>> Tamam da bu argüman için sonsuza gitmeye de gerek yok ki. Söylediğiniz
>> şeyin şundan farkı ne ki "(0,1) aralığından tek bir sayı seçin uniform
>> distribution ile, seçilme olasılığı 0. Her a için bu doğru. E (0,1) dışında
>> eleman da seçmiyoruz. Demek ki eleman seçemiyoruz aslında?"
>>
>>
>>
>> 2012/1/30 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>
>>> a sayisinin kumede olma olasiliginin 0 oldugunu yazmissiniz zaten siz de.
>>> a [0,1] araliginda hangi sayi olarak verilirse verilsin, kumede olma
>>> olasiligi sifir. Kumede [0,1] araligi disinda eleman da olamaz. Demek ki
>>> boskume olmali.
>>>
>>>
>>> Kerem
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 2012/1/30 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>>>
>>>> Eğer olayı yanlış anlamadıysam ikisinde de sorun yok desem? Uniform
>>>> distribution ile n tane sayı seçtik diyelim. Mesela 1/2 sayısının n=5 için
>>>> oluşturduğunuz kümede olma olasılığı 0, n=bir zilyon için oluşturduğunuz
>>>> kümede olma olasılığı da öyle. Dediğiniz gibi bu her a \in (0,1) için
>>>> geçerli de.
>>>>
>>>> Yani şu ana kadar elde ettiğimiz bilgi şu: Herhangi bir n için (limit
>>>> prosesinde sorun çıkacağını sanmıyorum ben de, o yüzden onu ekstra olarak
>>>> \omega için), önceden belirlediğimiz n elemanlı (ya da \omega elemanlı) bir
>>>> kümenin seçilmiş olma olasılığı 0, belirlediğimiz bir a sayısının kümede
>>>> olma olasılığı (ya da eşdeğer bir tabirle a'yı içeren sayılabilir bir küme
>>>> seçmiş olma olasılığımız) da 0.
>>>>
>>>>
>>>> "Yani aslinda a sayisi bu birlesim kumesinde olamaz. Bu her a sayisi
>>>> icin gecerli. Demek ki birlesim boskume olmali."
>>>>
>>>> Sanırım sorun burada. Bu çıkarımı nasıl yaptınız?
>>>>
>>>>
>>>> 2012/1/30 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>>>
>>>>> Hayir, bir kez daha anlatmaya calisayim. Matematiksel olarak
>>>>> tanimlayamiyorum pek, zaten sorun orda galiba.
>>>>>
>>>>> (0,1) araligindan rastgele n tane sayi seciyoruz. Uniform distribution
>>>>> olmasina gerek yok, ama basit olsun diye oyle diyelim.
>>>>>
>>>>> Bu n tane sayiya S_1,...,S_n dedik. Bu n tane sayidan bir kume
>>>>> olusturduk. n arttikca, bu kumenin eleman sayisi artar.
>>>>>
>>>>> n sonsuza iraksarken, bu S_i'lerin birlesimi hala bir kume olur mu
>>>>> bilmiyorum. Ama oluyorsa, diyorum ki:
>>>>>
>>>>> 1. Bu birlesim boskume olamaz. Cunku mesela S_1 boskume degil, ve
>>>>> birlesimin S_1'den daha cok elemani olmasi lazim.
>>>>>
>>>>> 2. Verilen bir a \in [0,1] icin, n seferde en az 1 kez a'yi secme
>>>>> olasiligi sifirdir. n sonsuza iraksarken bu olasilik hala sifir olarak
>>>>> kalir saniyorum. Yani aslinda a sayisi bu birlesim kumesinde olamaz. Bu her
>>>>> a sayisi icin gecerli. Demek ki birlesim boskume olmali.
>>>>>
>>>>> Ya 1 dogru, ya 2 dogru, ya da ikisi de yanlis. Tanimsiz seylerden
>>>>> sozediyor olabilirim. Umarim anlatabilmisimdir, daha acik nasil
>>>>> anlatabilirim bilmiyorum.
>>>>>
>>>>> Tesekkurler.
>>>>>
>>>>> Kerem
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>> 2012/1/30 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>>>>>
>>>>>> Benim sorum havada kalmış ama en azından bir kısmına cevap aldım.
>>>>>>
>>>>>> Kerem Bey sanırım uniform distrubution kullanmak istiyor. Bu durumda
>>>>>> sabitlediğimiz bir x \in (0,1)'in seçilme olasılığı 0. Buraya kadar sanırım
>>>>>> hepimiz hemfikiriz.
>>>>>>
>>>>>> Şimdi gene ilk sorduğum soruya dönüyorum. "Bu işlemi sonsuza kadar
>>>>>> yaparsak?" dediğiniz kısımdaki sonsuza kadar yapma kısmını matematiksel
>>>>>> olarak biraz daha iyi tanımlayabilir misiniz?
>>>>>>
>>>>>> Sanırım işin sonunda (0,1)'in tüm alt kümelerinden rastgele seçim
>>>>>> yapmış olmak istiyoruz (ki bunu yapabileceğimizden şüpheliyim!) ve bu
>>>>>> rastgele seçimin dağılımının önceki tek tek sayı seçme işini kafamızda
>>>>>> continuum kere iterate etme işiyle uyuşmasını istiyoruz. Mesela en sonda
>>>>>> gerçel sayıların sonlu tüm alt kümelerinin seçilme olasılığı ayrı ayrı 0
>>>>>> olmalı vs. Bunu yapabilirsek de (0,1) alt kümesinin seçilmiş olma
>>>>>> olasılığını hesaplamak istiyoruz.
>>>>>>
>>>>>> Kerem Bey buna yakın bir şey mi istiyorsunuz?
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> 2012/1/30 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>
>>>>>>
>>>>>>> Herhangi bir elemanı seçme olasılığının 0 olması, hiç bir elemanın
>>>>>>> seçilemeyeceği anlamına gelmez. Limit olarak düşünüyoruz. Pozitif olasılık
>>>>>>> olması durumu discrete durum. Elimizde n tane durum varsa onlara p_i
>>>>>>> ihtimal verip, toplamları 1 olsun diyebileceğimiz gibi,sonsuz durum varsa,
>>>>>>> olasılık dağılışını integrali 1 olan bir fonksiyonla da tanımlayabiliriz.
>>>>>>>
>>>>>>> 2012/1/31 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
>>>>>>>
>>>>>>>> Diyelim secim belitiyle sectiniz ve S kümesini olusturdunuz.
>>>>>>>> (ihtimalle teker teker olmaz ama tekrar onu söylüyorum)
>>>>>>>> S kümesinin hangi elemani hangi ihtimalle icerdigini
>>>>>>>> bilemediginizden sabit bir elemani icerme ihtimali konusunda da söz
>>>>>>>> söyleyemezsiniz. Yani 0'dir bile bile diyemezsiniz.
>>>>>>>>
>>>>>>>> --- On *Tue, 1/31/12, tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>* wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> From: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Subject: Re: [MD-sorular] bir olasilik sorusu
>>>>>>>> To: "Kerem Altun" <kerem.altun at gmail.com>, "Matematik Dunyasi" <
>>>>>>>> md-sorular at matematikdunyasi.org>
>>>>>>>> Date: Tuesday, January 31, 2012, 12:21 AM
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Ben de hatanin nerede oldugunu söylüyorum. Diyelim normal dagilima
>>>>>>>> göre seciyorsunuz. Herhangi bir sayiyi secme ihtimaliniz 0. E demek ki daha
>>>>>>>> ilk elemani bile alip S kümesine atamiyorsunuz. S kümesi bos küme.
>>>>>>>>
>>>>>>>> --- On *Tue, 1/31/12, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>>>>>>> Subject: Re: [MD-sorular] bir olasilik sorusu
>>>>>>>> To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
>>>>>>>> Date: Tuesday, January 31, 2012, 12:18 AM
>>>>>>>>
>>>>>>>> Hayir, orada bir hata yok. Tum reel sayilardan secilemez ama (0,1)
>>>>>>>> araligindan rastgele sayi secilebilir. Uniform distribution denir buna. Ama
>>>>>>>> zaten illa uniform olmasina gerek yok, sordugum soru olasilik dagilimindan
>>>>>>>> bagimsiz birsey. Bu tanimdan rahatsizsaniz reel sayilarda normal dagilimdan
>>>>>>>> sectigimizi dusunun mesela. S yine bir yandan boskume, ote yandan boskume
>>>>>>>> degil.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Matematikte paradoks bulmaya calismiyorum bu arada, hatanin nerede
>>>>>>>> oldugunu anlamaya calisiyorum :)
>>>>>>>>
>>>>>>>> Kerem
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> 2012/1/30 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
>>>>>>>>
>>>>>>>> rastgele secemezsiniz orada hata yapiyorsunuz bence.
>>>>>>>> (0,1) araligindan rastgele reel sayi secmek diye bir sey yok.
>>>>>>>>
>>>>>>>> herhangi bir sey'le hesap yapamazsiniz matematikte. O seyin adini
>>>>>>>> koymaniz gerekiyor.
>>>>>>>> Sizin sece sece icine sayi biriktirdiginiz küme, yani S kümesi,
>>>>>>>> matematiksel olarak iyi tanimli degil. S'in matematiksel tanimini yapmaya
>>>>>>>> calisin göreceksiniz.
>>>>>>>> -Rastgele- sectiginiz seyin pozitif bir ihtimali olmali ki
>>>>>>>> secebilesiniz. Yoksa secemezsiniz.
>>>>>>>>
>>>>>>>> --- On *Mon, 1/30/12, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>>>>>>> Subject: Re: [MD-sorular] bir olasilik sorusu
>>>>>>>> To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
>>>>>>>> Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>>>>>>>> Date: Monday, January 30, 2012, 11:20 PM
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Evet bana da oyle geliyor. Mesela N sayisini hic secmeme olasiligi:
>>>>>>>>
>>>>>>>> (N/(N+1))((N+1)/(N+2))((N+2)/(N+3))...
>>>>>>>>
>>>>>>>> Yani 0 oluyor. Demek ki N sayisini bir ara sececegiz mutlaka.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Ama bu benim sorumun yaniti olmadi. [0,1] reel araligindan birer
>>>>>>>> birer sayi secelim. n inci adimda sectigimiz sayi S_n olsun mesela.
>>>>>>>> S_n'lerin n sonsuza giderken birlesimi de S kumesi olsun. S boskume olamaz,
>>>>>>>> en az bir elemani oldugu bu isleme gore bariz. Ote yandan S boskume olmali,
>>>>>>>> cunku her a \in [0,1] icin a'nin S'de olmadigini gosterebiliriz.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Nerede hata yapiyorum?
>>>>>>>>
>>>>>>>> Kerem
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> 2012/1/30 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com<http://mc/compose?to=tibetefendi@yahoo.com>
>>>>>>>> >
>>>>>>>>
>>>>>>>> Sorunuzu söyle degistirin:
>>>>>>>> (0,1) aralagindan reel sayi secmeyin de dogal sayilardan rastgele
>>>>>>>> sayi seciyor olun.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Bu bile matematiksel olarak mümkün degil. Bunu görmeniz gerekiyor. O
>>>>>>>> yüzden bir degisiklik daha yapacagiz:
>>>>>>>>
>>>>>>>> Birinci adimda [0,0] araligindan bir dogal sayi seciyoruz
>>>>>>>> Ikinci adimda [0,1] araligindan bir dogal sayi seciyoruz
>>>>>>>> n'inci adimda [0,n] araligindan bir dogal sayi seciyoruz.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Bu sekilde ilerlediginizde sabit herhangi bir sayiyi secmis olma
>>>>>>>> ihtimaliniz adim sayisi sonsuza giderken 1'e yaklasir gibime geliyor.
>>>>>>>> (gibisine gelmek)
>>>>>>>>
>>>>>>>> Ayni sey reel sayilar icin gecerli degil. Cünkü o durumda reel
>>>>>>>> sayilar sayilabilir olurdu.
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> --- On *Mon, 1/30/12, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com<http://mc/compose?to=kerem.altun@gmail.com>
>>>>>>>> >* wrote:
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com<http://mc/compose?to=kerem.altun@gmail.com>
>>>>>>>> >
>>>>>>>> Subject: Re: [MD-sorular] bir olasilik sorusu
>>>>>>>> To: "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com<http://mc/compose?to=luzumi@gmail.com>
>>>>>>>> >
>>>>>>>> Cc: "md" <MD-sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=MD-sorular@matematikdunyasi.org>
>>>>>>>> >
>>>>>>>> Date: Monday, January 30, 2012, 6:04 PM
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Evet dogru, soyleyemeyiz galiba. Bu durumda dogru olan ikincisi
>>>>>>>> oluyor, yani secilmemis sayi kalir. Hatta hicbir sayi secilmez! Herhangi
>>>>>>>> bir a \in [0,1] icin a'nin torbada olmadigini gosterebiliriz. Yani aslinda
>>>>>>>> torba bos olur.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Bir yerde hata yapiyorum ben ama nerde acaba...
>>>>>>>>
>>>>>>>> Kerem
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> 2012/1/30 E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com<http://mc/compose?to=luzumi@gmail.com>
>>>>>>>> >
>>>>>>>>
>>>>>>>> Her sayinin 1 olasilikla bir ara secilecegini nasil soyleyebiliriz
>>>>>>>> ki? Bir sayinin secilmeme olasiligi 1. Iki kere ustuste secilmeme olasiligi
>>>>>>>> yine 1, bes milyon kere ustuste secilmeme olasiligi da 1.
>>>>>>>>
>>>>>>>> 2012/1/30 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com<http://mc/compose?to=kerem.altun@gmail.com>
>>>>>>>> >
>>>>>>>>
>>>>>>>> Merhaba, aklima takilan bir soru var. [0,1] araligindan rastgele
>>>>>>>> sayilar seciyoruz. Bu islemi sonsuza kadar yaparsak, secilmemis sayi kalir
>>>>>>>> mi? Iki yanitim var:
>>>>>>>>
>>>>>>>> 1. Bir yonden dusununce kalmamasi lazim, her sayi 1 olasilikla bir
>>>>>>>> ara secilecek.
>>>>>>>>
>>>>>>>> 2. Ote yandan, sectigimiz sayilari bir torbaya attigimizi dusunelim.
>>>>>>>> O sayi torbada zaten varsa atmayiz, ama zaten daha once sectigimiz bir
>>>>>>>> sayiyi tekrar secme olasiligimiz sifirdir galiba. Torbayi [0,1]
>>>>>>>> araligindaki butun sayilarla doldurabilirsek, o zaman secilmemis sayi
>>>>>>>> kalmaz diyebiliriz. Ama sonucta sectigimiz sayilari birer birer bu torbaya
>>>>>>>> atarak herhalde torbayi [0,1] araligindaki butun sayilarla dolduramayiz.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Hangisi dogru bunlarin? Tesekkurler.
>>>>>>>>
>>>>>>>> Kerem
>>>>>>>>
>>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> --
>>>>>>>> Eren Mehmet Kıral
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> -----Inline Attachment Follows-----
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Burak.
>>>>>>
>>>>>> _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Burak.
>>>>
>>>> _______________________________________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> Burak.
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>_______________________________________________
>MD-sorular e-posta listesi
>sorular at matematikdunyasi.org
>http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi