[MD-sorular] Bir topoloji sorusu

[Burak Kaya]

Sorduğunuz şey görünüşe göre ZFC'den bağımsız. Şöyle ki:

Zaten ZFC+CH'nin sayılabilir dizisel tıkız çarpımların dizisel tıkız
olmadığını kanıtladığını yazmışsınız.

Martin'in aksiyomu altında ise tam tersi doğru. ZFC+~CH+MA, \prod_\omega_1
{0,1}'in dizisel tıkız olduğunu kanıtlıyor(muş).

http://mathoverflow.net/questions/24437/is-compact-implies-sequentially-compact-consistent-with-zf
(buradaki
ilk cevap)
http://en.wikipedia.org/wiki/Martin's_axiom#Consequences_of_MA.28k.29

Eğer öne sürülen kanıt fikrini yanlış anlamadıysam kanıtta çok yeni bir
fikir yok. Sayılabilir durumun kanıtındaki gibi bir (x_n)_{n=0}^\infty
\subset  \prod_\omega_1 {0,1} verilsin. Her \alpha < \omega_1 için
(x_n(\alpha))_{n=0}^\infty dizisinden {0,1} üzerindeki dizisel tıkızlığı
kullanarak bir alt dizi çıkarıyoruz (aslında alt dizinin indeks kümesini
çıkarıyoruz diyelim). Limit ordinallerde de köşegenini alıyoruz. A_\alpha,
\alpha'nıncı basamakta elde ettiğimiz yakınsak alt dizinin indeksi olsun.

Bu işlemin sonunda da her \alpha < \beta < \omega_1 için A_\beta
\subset A_\alpha \subset \omega elde ediyoruz ki ,  A_\alpha'nın
indekslediği alt dizi \alpha'dan önceki koordinatlarda yakınsak (köşegen
alma işleminin bu kısmı garantilemesi lazım) ve her \alpha < \beta <
\omega_1 için |A_\alpha|=\omega ve |A_\alpha - A_\beta| < \omega oluyor.

Önceki cümledeki son iki özellikten dolayı da Martin'in aksiyomunun da
bilinen bir sonucu olarak (Kunen. Teorem 2.15'den çıkıyor), öyle bir d
\subset \omega vardır ki her \alpha için |d \cap A_\alpha|=\omega ve |d
\cap A_\alpha^complement|< \omega oluyor.

Bu d kümesinin indekslediği alt dizi yakınsak çıkacak.

Gecenin bir vakti her şeyi açık açık yazarak kontrol etmedim ama doğru gibi
gözüküyor. Bir yerlerinde yanlışlık varsa haber edin!

Burak.


2012/7/23 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>

> {0, 1} kumesini ayrik topolojiyle donatalim.
> A bir kume olsun.
> {0, 1} kumesinin A defa carpim kumesini alalim. Yani X = \prod_A {0, 1}
> kumesine bakalim.
> X'i carpim topolojisiyle donatalim.
> X'in tikiz oldugunu Tychonoff'tan dolayi biliyoruz.
> Soru: X dizisel tikiz midir, yani her dizisinin yakinsak bir altdizisi var
> midir?
> Eger A = N = \omega ise, X dizisel tikizdir. Kaniti pek zor degil.
> Eger A = R = 2^\omega ise, X dizisel tikiz degildir. Bunun kaniti o kadar
> kolay degil ama mumkun.
> Dolayisiyla kardinalitesi R'den buyuk A kumeleri icin de X dizisel tikiz
> olamaz.
> Diyelim sureklilik hipotezi dogru degil.
> A = \omega_1 = ilk sayilamaz kardinal ise (mesela!) X dizisel tikiz midir?
> Ali
> ______________________________**_________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.**tr/cgi-bin/mailman/listinfo/**md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120724/2ca7788a/attachment.html>