[MD-sorular] Bir topoloji sorusu

[Burak Kaya]

Küçük teknik detaylar:

O "köşegen" kısmı o kadar da hadi köşegeni alalım deyince olmuyormuş onu
fark ettim! Şöyle bir şey lazım:

\gamma bir limit ordinal olsun. \beta_0 < \beta_1 < ... < \beta_n <  ... <
\gamma olacak bir beta ordinal dizisi sabitleyelim (\gamma'nın
cofinality'si \omega olduğu için böyle bir dizi bulabiliriz).

A_\gamma'yı seçerken, {A_\beta_n}'in "köşegenini" (ilk kümenin ilk elemanı,
ikincinin ikinci vs.) almamız lazım.

Belki şu an fark etmediğim doldurulması gereken başka detaylar da vardır
emin değilim. Fark ederseniz düzeltin lütfen.

Burak.

2012/7/24 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>

> Sorduğunuz şey görünüşe göre ZFC'den bağımsız. Şöyle ki:
>
> Zaten ZFC+CH'nin sayılabilir dizisel tıkız çarpımların dizisel tıkız
> olmadığını kanıtladığını yazmışsınız.
>
> Martin'in aksiyomu altında ise tam tersi doğru. ZFC+~CH+MA, \prod_\omega_1
> {0,1}'in dizisel tıkız olduğunu kanıtlıyor(muş).
>
>
> http://mathoverflow.net/questions/24437/is-compact-implies-sequentially-compact-consistent-with-zf (buradaki
> ilk cevap)
> http://en.wikipedia.org/wiki/Martin's_axiom#Consequences_of_MA.28k.29
>
> Eğer öne sürülen kanıt fikrini yanlış anlamadıysam kanıtta çok yeni bir
> fikir yok. Sayılabilir durumun kanıtındaki gibi bir (x_n)_{n=0}^\infty
> \subset  \prod_\omega_1 {0,1} verilsin. Her \alpha < \omega_1 için
> (x_n(\alpha))_{n=0}^\infty dizisinden {0,1} üzerindeki dizisel tıkızlığı
> kullanarak bir alt dizi çıkarıyoruz (aslında alt dizinin indeks kümesini
> çıkarıyoruz diyelim). Limit ordinallerde de köşegenini alıyoruz. A_\alpha,
> \alpha'nıncı basamakta elde ettiğimiz yakınsak alt dizinin indeksi olsun.
>
> Bu işlemin sonunda da her \alpha < \beta < \omega_1 için A_\beta
> \subset A_\alpha \subset \omega elde ediyoruz ki ,  A_\alpha'nın
> indekslediği alt dizi \alpha'dan önceki koordinatlarda yakınsak (köşegen
> alma işleminin bu kısmı garantilemesi lazım) ve her \alpha < \beta <
> \omega_1 için |A_\alpha|=\omega ve |A_\alpha - A_\beta| < \omega oluyor.
>
> Önceki cümledeki son iki özellikten dolayı da Martin'in aksiyomunun da
> bilinen bir sonucu olarak (Kunen. Teorem 2.15'den çıkıyor), öyle bir d
> \subset \omega vardır ki her \alpha için |d \cap A_\alpha|=\omega ve |d
> \cap A_\alpha^complement|< \omega oluyor.
>
> Bu d kümesinin indekslediği alt dizi yakınsak çıkacak.
>
> Gecenin bir vakti her şeyi açık açık yazarak kontrol etmedim ama doğru
> gibi gözüküyor. Bir yerlerinde yanlışlık varsa haber edin!
>
> Burak.
>
>
>
> 2012/7/23 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>
>> {0, 1} kumesini ayrik topolojiyle donatalim.
>> A bir kume olsun.
>> {0, 1} kumesinin A defa carpim kumesini alalim. Yani X = \prod_A {0, 1}
>> kumesine bakalim.
>> X'i carpim topolojisiyle donatalim.
>> X'in tikiz oldugunu Tychonoff'tan dolayi biliyoruz.
>> Soru: X dizisel tikiz midir, yani her dizisinin yakinsak bir altdizisi
>> var midir?
>> Eger A = N = \omega ise, X dizisel tikizdir. Kaniti pek zor degil.
>> Eger A = R = 2^\omega ise, X dizisel tikiz degildir. Bunun kaniti o kadar
>> kolay degil ama mumkun.
>> Dolayisiyla kardinalitesi R'den buyuk A kumeleri icin de X dizisel tikiz
>> olamaz.
>> Diyelim sureklilik hipotezi dogru degil.
>> A = \omega_1 = ilk sayilamaz kardinal ise (mesela!) X dizisel tikiz midir?
>> Ali
>> ______________________________**_________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.**tr/cgi-bin/mailman/listinfo/**md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120724/f3693e9f/attachment.htm>