[MD-sorular] Bir topoloji sorusu

[Ali Nesin]

Cok tesekkurler, cok yararli oldu.
(Ilk mesajini nedense almadim ama.)
Verdigin sayfada sorulan bir soru ilginc: [0,1]^[0,1] uzayinin tikiz 
oldugu Secim Aksiyomu kullanilmadan kanitlanabilir mi? Sanmiyorum.
A


On 24.07.2012 10:29, Burak Kaya wrote:
> Küçük teknik detaylar:
>
> O "köşegen" kısmı o kadar da hadi köşegeni alalım deyince olmuyormuş onu
> fark ettim! Şöyle bir şey lazım:
>
> \gamma bir limit ordinal olsun. \beta_0 < \beta_1 < ... < \beta_n <  ... <
> \gamma olacak bir beta ordinal dizisi sabitleyelim (\gamma'nın
> cofinality'si \omega olduğu için böyle bir dizi bulabiliriz).
>
> A_\gamma'yı seçerken, {A_\beta_n}'in "köşegenini" (ilk kümenin ilk elemanı,
> ikincinin ikinci vs.) almamız lazım.
>
> Belki şu an fark etmediğim doldurulması gereken başka detaylar da vardır
> emin değilim. Fark ederseniz düzeltin lütfen.
>
> Burak.
>
> 2012/7/24 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>
>
>> Sorduğunuz şey görünüşe göre ZFC'den bağımsız. Şöyle ki:
>>
>> Zaten ZFC+CH'nin sayılabilir dizisel tıkız çarpımların dizisel tıkız
>> olmadığını kanıtladığını yazmışsınız.
>>
>> Martin'in aksiyomu altında ise tam tersi doğru. ZFC+~CH+MA, \prod_\omega_1
>> {0,1}'in dizisel tıkız olduğunu kanıtlıyor(muş).
>>
>>
>> http://mathoverflow.net/questions/24437/is-compact-implies-sequentially-compact-consistent-with-zf (buradaki
>> ilk cevap)
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Martin's_axiom#Consequences_of_MA.28k.29
>>
>> Eğer öne sürülen kanıt fikrini yanlış anlamadıysam kanıtta çok yeni bir
>> fikir yok. Sayılabilir durumun kanıtındaki gibi bir (x_n)_{n=0}^\infty
>> \subset  \prod_\omega_1 {0,1} verilsin. Her \alpha < \omega_1 için
>> (x_n(\alpha))_{n=0}^\infty dizisinden {0,1} üzerindeki dizisel tıkızlığı
>> kullanarak bir alt dizi çıkarıyoruz (aslında alt dizinin indeks kümesini
>> çıkarıyoruz diyelim). Limit ordinallerde de köşegenini alıyoruz. A_\alpha,
>> \alpha'nıncı basamakta elde ettiğimiz yakınsak alt dizinin indeksi olsun.
>>
>> Bu işlemin sonunda da her \alpha < \beta < \omega_1 için A_\beta
>> \subset A_\alpha \subset \omega elde ediyoruz ki ,  A_\alpha'nın
>> indekslediği alt dizi \alpha'dan önceki koordinatlarda yakınsak (köşegen
>> alma işleminin bu kısmı garantilemesi lazım) ve her \alpha < \beta <
>> \omega_1 için |A_\alpha|=\omega ve |A_\alpha - A_\beta| < \omega oluyor.
>>
>> Önceki cümledeki son iki özellikten dolayı da Martin'in aksiyomunun da
>> bilinen bir sonucu olarak (Kunen. Teorem 2.15'den çıkıyor), öyle bir d
>> \subset \omega vardır ki her \alpha için |d \cap A_\alpha|=\omega ve |d
>> \cap A_\alpha^complement|< \omega oluyor.
>>
>> Bu d kümesinin indekslediği alt dizi yakınsak çıkacak.
>>
>> Gecenin bir vakti her şeyi açık açık yazarak kontrol etmedim ama doğru
>> gibi gözüküyor. Bir yerlerinde yanlışlık varsa haber edin!
>>
>> Burak.
>>
>>
>>
>> 2012/7/23 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>> {0, 1} kumesini ayrik topolojiyle donatalim.
>>> A bir kume olsun.
>>> {0, 1} kumesinin A defa carpim kumesini alalim. Yani X = \prod_A {0, 1}
>>> kumesine bakalim.
>>> X'i carpim topolojisiyle donatalim.
>>> X'in tikiz oldugunu Tychonoff'tan dolayi biliyoruz.
>>> Soru: X dizisel tikiz midir, yani her dizisinin yakinsak bir altdizisi
>>> var midir?
>>> Eger A = N = \omega ise, X dizisel tikizdir. Kaniti pek zor degil.
>>> Eger A = R = 2^\omega ise, X dizisel tikiz degildir. Bunun kaniti o kadar
>>> kolay degil ama mumkun.
>>> Dolayisiyla kardinalitesi R'den buyuk A kumeleri icin de X dizisel tikiz
>>> olamaz.
>>> Diyelim sureklilik hipotezi dogru degil.
>>> A = \omega_1 = ilk sayilamaz kardinal ise (mesela!) X dizisel tikiz midir?
>>> Ali
>>> ______________________________**_________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.**tr/cgi-bin/mailman/listinfo/**md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>>
>>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120724/71c49e83/attachment.htm>