[MD-sorular] Aritmetik Fonksiyonlar

[dede]

Sayın Üyeler;
Sayılar kuramında ki aritmetik fonksiyonlar olan;
bir n sayısının tamsayı bölenlerinin sayısını veren d(n) ve
bir n sayısına kadar (n dahil) n sayısı ile aralarında asal olan sayıların 
sayısını veren Euler Totient (φ(n) ile gösterilir) fonksiyonlarının
hesaplanması, bilinen formüller gereÄŸi, ancak n sayısının 
asal çarpanlarına ayırılması  ile olanaklıdır. Büyük sayıların asal
çarpanlarına ayırılmasının zorluÄŸu dikkate alındığında; 
”Sayı asal çarpanlarına ayırılmadan bu fonksiyonlar hesaplanamaz mı?”
sorusu hep aklıma takılmıştır. Bu dürtü sayesinde d(n) ve φ(n) için 
aÅŸağıda ki formülleri geliÅŸtirdim:(Floor; oranlı bir sayının tam sayı kısmı) 
1) Bir n sayısının tamsayı bölenlerin sayısını veren d(n) için formül;
s=Floor(n/2);   A= Floor(n/k);  B=1+Floor((n-1)/k)  denirse;
d(n)=1+Toplam(k=1’den s’ye kadar:Floor(A/B)
2) Bir n sayısına kadar (n dahil)  n sayısı ile aralarında asal olan sayıların 
sayısı φ(n) için formül: r=Floor((n-1)/2); C=OBEB(n/2,2k+1)  dersek,
a)  φ(n) =Toplam(k=0’dan r’ye kadar: Floor(1/C))
b)  φ(n) =m(Toplam(k=0’dan r’ye kadar: Floor(2^(1-D))))
2/b formülünde D= OBEB(n/2,(2k+1)/2)   dır; n sayısı çift tam sayı ise m=1;
 n sayısı tek tam sayı ise m=2  olarak alınmalıdır.
Bunlar, sayılar arasında ki “iliÅŸkiler” düÅŸünülerek, ”akıl yürütmeyle”
bulunmuÅŸ olup; n<1 000 000 için Mathematica ile doÄŸru oldukları test edilmiÅŸtir.
EÅŸitlikleri tümevarımla kanıtlamaya çalıştım; ama beceremedim,
ayrıca literatürde var mı, bir iÅŸe yararlar mı; kanıtlanabilirler mi bilmiyorum. 
Sadece paylaÅŸmak istedim, o kadar. 
Saygılarımla&hellip;
A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu
 
Not: Bir n sayısının bölenlerinin toplamına ait (&sigma;(n) ile gösterilir)
benzer bir eÅŸitlik ÅŸimdiye kadar bulamadım.OBEB,(Ortak Bölenlerin En BüyüÄŸü)
anlamında olup;buna bazen EKOK (En Küçük Ortak Kat) da denilmektedir.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20121022/d637235c/attachment.htm>