[MD-sorular] sonlu metrik uzay

[E. Mehmet Kıral]

@Kerem Altun: Öyle üzerinde olduğumuz manifoldu değiştirerek iş yapacaksak,
n noktalı simpleksi alırız, sonra bir eğriyi eğe büke tüm bu noktalardan
geçiririz. Alın o zaman tüm noktaları 1 boyutlu manifoldun üzerinde de
çizdim. Manifoldun üzerine de R^(n+1)'in içinde bulunmaktan gelen metriği
koyuyoruz.

Velhasıl gömeceğimiz uzayın vektör uzayı olduğunu düşünmezsek soru
ilginçliğini yitiyor.

@Ali Nesin: Durum şunu düşününce daha da şaşırtıcı belki de. Akla gelen ilk
yöntemi uygulayalım. n boyutlu uzayda 1 nokta seçelim ve etrafına bir birim
küre çizelim. Küre üzerinde herhangi bir nokta alalım ve o noktadan da
herhangi bir birim küre çizelim. Bu iki kürenin kesişimi n-2 boyutlu bir
küre yüzeyidir ve onun üzerinde herhangi bir nokta seçelim ve o nokta
merkezli birim küreyi elimizdeki n-2 boyutlu kesişim küresiyle
kesiştirelim. Her bir adımda noktaları seçebileceğimiz kümenin boyutu birer
birer azalıyor taa ki bir doğru parçasıyla n-1 boyutlu küre yüzeyi 2 adet 0
boyutlu noktada kesişene kadar. Yani n +1 adet nokta seçtik.

Şimdi bu akla gelen ilk yöntemde merak ediyoruz ve diyoruz ki bu elde
ettiğimiz m < n-1  boyutlu kürelerin yarıçapları hiç 1/2'den küçük olur mu,
çünkü olursa m-kürenin üzerinde alacağımız bir noktadan çizilen birim küre,
m boyutlu küre ile kesişmez.

Nitekim hesap gösteriyor ki 13. boyut ve sonrasında bu yarıçap yarıdan aza
düşüyor.

Demek ki akla gelen ilk yöntem olmuyor, ve noktaları rasgele seçmek düşük
boyutlarda işe yararken, büyük boyutlarda seçimin önemi oluyor ve rasgele
seçmekten daha akıllıca bir yöntem uygulamak gerekiyor.

Mesela şu seçim işe yarıyor. n boyutlu uzayda e_1 = (1, 0,0, ..., 0), e_2 =
(0, 1, 0, ..., 0) , ... , e_n = (0,0,... ,0,1) noktalarını seçelim. Bu
noktalar hep birbirlerine eş uzaklıktadır. Dahası n boyutlu uzayda n nokta
bir hiperdüzlem belirlediğinden, bu noktalardan geçen n-1 boyutlu bir afin
uzay vardır. İşte n noktalı ayrık metrik uzayı n-1 boyutlu gerçel uzayın
içerisine gömdük.

NOT: Bu işte bir gariplik var, anlamadım.

2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>

> Dusundum de, 4 nokta icin illa 3 boyut gerekmiyor. Mesela resmi S^2
> uzerine cizebiliriz, iki boyut sayilir bu herhalde sonucta. Benzer sekilde
> 3 nokta da S^1 uzerine cizilir.
>
> Peki mesela 5 nokta S^2 uzerine cizilmez mi?
>
> Kerem
>
>
>
>
> 2012/9/2 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>
>>
>> Cok guzel bir soru gercekten.
>> n+1 noktali bu ayrik metrik uzayin R^n'ye gomulebilmesi bile aslinda daha
>> sasirtici.
>> A
>>
>>
>>
>> On 03.09.2012 00:26, E. Mehmet Kıral wrote:
>>
>> n-simpleks n-1'den daha dusuk boyuttaki gercel vektor uzayinin (R^n) icine
>> izometrik olarak gomulebilir mi sorusunun yaniti hayir olmali.
>>
>> 3 nokta 2 boyuttan daha az uzay icerisine gomulemez.
>>
>> Bu onermenin n boyutlusu cok bariz geliyor ama bir kanitini goremedim.
>>
>>
>>
>> 2012/9/2 Karatug Ozan Bircan <karatugo at gmail.com> <karatugo at gmail.com>
>>
>>  Simplex deniyor. http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex
>>
>> --*Karatug Ozan Bircan*
>>
>>
>>
>> 2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> <kerem.altun at gmail.com>
>>
>>  Merhaba,
>>
>> 3 elemanli bir kumemiz olsun. Bu kumede bir metrik tanimlayalim. x ve y
>> arasindaki mesafe, x=y ise 0 olsun, degilse 1 olsun. Bu kumenin resmini iki
>> boyutta cizebiliriz, elemanlar bir eskenar ucgenin koseleri olur.
>>
>> Kume 4 elemanli olursa bu resmi 3 boyutta cizebiliriz. Bu durumda
>> elemanlar bir duzgun dortyuzlunun (tetrahedron) koseleri olur.
>>
>> Kume N elemanli olursa ne olur? Karsilik gelen resmi mutlaka N-1 boyutta
>> mi cizmemiz gerekir? Bu seklin bir ismi var mi?
>>
>> Tesekkurler,
>> Kerem
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>  _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>


-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120902/9b67f798/attachment.htm>