[MD-sorular] sonlu metrik uzay

Ali Nesin anesin at nesinvakfi.org
4 Eyl 2012 Sal 00:00:16 EEST


1. Kerem Altun'un sorusu ilginc bir soruya donusebilir sanki. O egriyi 
mesela Kerem Altun'un sozunu ettigi kurenin ustunde ve sonsuz 
turevlenebilir bir egri olarak cizebilir misin? Egri olmak zorunda 
degil, daha yuksek boyutlu sonsuz turevlenebilir bir manifold da olabilir.
2. Bana yazdiklarindan "akla gelen ilk yontem" benim de aklima gelen ilk 
yontemdi (ki aslinda akla gelen ikinci yontem olmaliydi!) Kurelerin 
kesismeyecekleri bir an aklima geldi ama cabuk sildim!
13'uncu boyut hesabi sen mi yaptin, yoksa bir yerde mi gordun?
3. Su teorem hala kanit bekliyor anladigim kadariyla:
Teorem: n boyutlu Oklid uzayinda es-uzaklikta en fazla n+1 nokta 
secilebilir.
A

On 03.09.2012 03:52, E. Mehmet Kıral wrote:
> @Kerem Altun: Öyle üzerinde olduğumuz manifoldu değiştirerek iş yapacaksak,
> n noktalı simpleksi alırız, sonra bir eğriyi eğe büke tüm bu noktalardan
> geçiririz. Alın o zaman tüm noktaları 1 boyutlu manifoldun üzerinde de
> çizdim. Manifoldun üzerine de R^(n+1)'in içinde bulunmaktan gelen metriği
> koyuyoruz.
>
> Velhasıl gömeceğimiz uzayın vektör uzayı olduğunu düşünmezsek soru
> ilginçliğini yitiyor.
>
> @Ali Nesin: Durum şunu düşününce daha da şaşırtıcı belki de. Akla gelen ilk
> yöntemi uygulayalım. n boyutlu uzayda 1 nokta seçelim ve etrafına bir birim
> küre çizelim. Küre üzerinde herhangi bir nokta alalım ve o noktadan da
> herhangi bir birim küre çizelim. Bu iki kürenin kesişimi n-2 boyutlu bir
> küre yüzeyidir ve onun üzerinde herhangi bir nokta seçelim ve o nokta
> merkezli birim küreyi elimizdeki n-2 boyutlu kesişim küresiyle
> kesiştirelim. Her bir adımda noktaları seçebileceğimiz kümenin boyutu birer
> birer azalıyor taa ki bir doğru parçasıyla n-1 boyutlu küre yüzeyi 2 adet 0
> boyutlu noktada kesişene kadar. Yani n +1 adet nokta seçtik.
>
> Şimdi bu akla gelen ilk yöntemde merak ediyoruz ve diyoruz ki bu elde
> ettiğimiz m < n-1  boyutlu kürelerin yarıçapları hiç 1/2'den küçük olur mu,
> çünkü olursa m-kürenin üzerinde alacağımız bir noktadan çizilen birim küre,
> m boyutlu küre ile kesişmez.
>
> Nitekim hesap gösteriyor ki 13. boyut ve sonrasında bu yarıçap yarıdan aza
> düşüyor.
>
> Demek ki akla gelen ilk yöntem olmuyor, ve noktaları rasgele seçmek düşük
> boyutlarda işe yararken, büyük boyutlarda seçimin önemi oluyor ve rasgele
> seçmekten daha akıllıca bir yöntem uygulamak gerekiyor.
>
> Mesela şu seçim işe yarıyor. n boyutlu uzayda e_1 = (1, 0,0, ..., 0), e_2 =
> (0, 1, 0, ..., 0) , ... , e_n = (0,0,... ,0,1) noktalarını seçelim. Bu
> noktalar hep birbirlerine eş uzaklıktadır. Dahası n boyutlu uzayda n nokta
> bir hiperdüzlem belirlediğinden, bu noktalardan geçen n-1 boyutlu bir afin
> uzay vardır. İşte n noktalı ayrık metrik uzayı n-1 boyutlu gerçel uzayın
> içerisine gömdük.
>
> NOT: Bu işte bir gariplik var, anlamadım.
>
> 2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>
>> Dusundum de, 4 nokta icin illa 3 boyut gerekmiyor. Mesela resmi S^2
>> uzerine cizebiliriz, iki boyut sayilir bu herhalde sonucta. Benzer sekilde
>> 3 nokta da S^1 uzerine cizilir.
>>
>> Peki mesela 5 nokta S^2 uzerine cizilmez mi?
>>
>> Kerem
>>
>>
>>
>>
>> 2012/9/2 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>> Cok guzel bir soru gercekten.
>>> n+1 noktali bu ayrik metrik uzayin R^n'ye gomulebilmesi bile aslinda daha
>>> sasirtici.
>>> A
>>>
>>>
>>>
>>> On 03.09.2012 00:26, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>
>>> n-simpleks n-1'den daha dusuk boyuttaki gercel vektor uzayinin (R^n) icine
>>> izometrik olarak gomulebilir mi sorusunun yaniti hayir olmali.
>>>
>>> 3 nokta 2 boyuttan daha az uzay icerisine gomulemez.
>>>
>>> Bu onermenin n boyutlusu cok bariz geliyor ama bir kanitini goremedim.
>>>
>>>
>>>
>>> 2012/9/2 Karatug Ozan Bircan <karatugo at gmail.com> <karatugo at gmail.com>
>>>
>>>   Simplex deniyor. http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex
>>>
>>> --*Karatug Ozan Bircan*
>>>
>>>
>>>
>>> 2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> <kerem.altun at gmail.com>
>>>
>>>   Merhaba,
>>>
>>> 3 elemanli bir kumemiz olsun. Bu kumede bir metrik tanimlayalim. x ve y
>>> arasindaki mesafe, x=y ise 0 olsun, degilse 1 olsun. Bu kumenin resmini iki
>>> boyutta cizebiliriz, elemanlar bir eskenar ucgenin koseleri olur.
>>>
>>> Kume 4 elemanli olursa bu resmi 3 boyutta cizebiliriz. Bu durumda
>>> elemanlar bir duzgun dortyuzlunun (tetrahedron) koseleri olur.
>>>
>>> Kume N elemanli olursa ne olur? Karsilik gelen resmi mutlaka N-1 boyutta
>>> mi cizmemiz gerekir? Bu seklin bir ismi var mi?
>>>
>>> Tesekkurler,
>>> Kerem
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>   _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>



MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi