[MD-sorular] Ynt: Re: Deðiþken Pi

dede dede_47 at mynet.com
8 Nis 2013 Pzt 12:39:14 EEST


Sayın E. Mehmet Kral;
 
Yanıtınızdan, soruyu tam anlatamadığımı sezdim, maddeler 
halinde tekrar anlatayım:
1)Riemann geometrisi derken, küresel geometriyi  kast etmiÅŸtim. 
  Bu geometriden anladığım ise, “Bir küre üzerinde ki geometrik 
  ÅŸekillerin özelliklerini inceleyen” geometriyi anlıyorum.
2)Görelilik kuramıyla ilgili, öÄŸrenciliÄŸim de öÄŸretilen/okutulan,
   Türkçe yazılmış/çevrilmiÅŸ popüler konuyla ilgili kitaplardan
    (bunların %90 kadarını okudum),Prof.A.Yüksel Özemre’nin
    konuyla ilgili yazdığı ders kitaplarında; kuramın hesaplarında
    küresel geometrinin kullanıldığını yazmaktadır. Bu, görelilik
    kuramının söylediÄŸi bir sonuç deÄŸildir; Newton mekaniÄŸinin
    açıklayamadığı konuları açıklamada kullanılacak geometrinin
    en uygun ve elveriÅŸli olanın, küresel geometri  olmasıdır.
    (Aynı hesaplar  diÄŸer eÄŸrisel geometrilerle de yapılabilir, ama 
    hesaplar uzun ve karmaşık olacağından, küresel geometri 
    tercih edilir. Bu durum  sorumun içeriÄŸini/özünü deÄŸiÅŸtirmez.) 
    Siz de internette arama yaparsanız, bunun böyle 
    yazıldığını/söylendiÄŸini görebilirsiniz. ÖrneÄŸin:
      ““…Einstein developed a set of equations to describe the manner in 
     which space-time is distorted by matter. These equations make  use 
     of a geometry developed by the 19th-century German mathematician 
     Georg F. B. Riemann. In Riemannian geometry there are no straight 
     lines but only curves. Therefore, the space described by the general 
     theory of relativity is a curved space without straight lines.”
    (http://en.wikisource.org/wiki/Application_of_Lobachevskian_Geometry_in_the_Theory_of_Relativity)
    “…Einstein;  (yakınlarda ki) maddesel kütlenin, uzay-zaman (eÄŸrisini)
    bozduÄŸunu gösteren (tanımlayan) denklemler grubu/takımı geliÅŸtirdi.
    Bu denklemler de(çıkarılışın da),19.yy Alman matematikçisi 
    Georg F.B.Riemann  tarafından geliÅŸtirilen geometriyi kullandı.
    Riemann geometrisin de, doÄŸru çizgiler/hatlar yoktur, yalnız eÄŸriler 
    vardır. Bu nedenle, genel görelilik kuramıyla tanımlanan uzay,
    doÄŸru çizgileri/hatları olmayan (eÄŸrisel) bir uzaydır.”
3)Dünyayı ideal bir küre olarak düÅŸünün; siz de bir enlem (paralel)
   dairesi üzerindesiniz. Bu dairenin çevresini ölçüyorsunuz, pi sayısını
   bulmak için çap olarak nereyi alacaksınız? Ekvatora yatay paralel
   kesit  dairesinin  çapını mı, yoksa bu paralel kesit dairenin yatayda ki
   çapının  uçlarını birleÅŸtiren daire yayını mı alırsınız? Ekvatora paralel
   düzlemde boydan boya tünel aç(a)mayacağınıza göre, doÄŸal olarak,
   daire yayını çap olarak alacaksınız. Ä°ÅŸte bu enlem dairesinin çevresini
   bu yay çapa  bölerseniz, bildiÄŸimiz pi’yi deÄŸil; DP=(SinA/A)*pi formülüyle
   verilen DP yi bulursunuz.(DP<pi dir. 2A açısı, enlem dairesinin yatay
   da ki çapının iki ucunu, küre merkezine birleÅŸtiren doÄŸrular arasındaki açıdır.)
   Bu  durum, küre  üzerinde çizilecek her daire için doÄŸrudur.
3)Küre üzerinde çok küçük çemberler çizilmesi halinde pi&rsquo; ye &ldquo;çok yakın&rdquo;
  deÄŸer elde edeceÄŸimiz doÄŸru; ama bu &ldquo;çok yakın&rdquo; deÄŸer, &rdquo;evrenin
  küçük bir  parçasında bulunmamız ,ve bu küçük parçada uydularımızı
  dolaÅŸtırmamız&rdquo; halinde bile büyük hatalara yol açar. Örnek:
  Dünyamızın güneÅŸ etrafındaki yörüngesi bir elipstir.(Bu yörüngenin,
  Newton yasaları gereÄŸi, çıkarılan parametrik denklemleri
  çizilince   yörüngenin, daireye çook  yakın olduÄŸu görülür;
  Kepler&rsquo;in  devrinin ilkel aletleriyle bu dairenin elips olduÄŸunu
  saptaması ve bilinen 3 yasasını bulmasına ÅŸapka çıkarılır, bu
  zekaya ancak hayranlık duyulur. Kendi devrine kadar, bu yörüngenin
  daira olduÄŸunu savunanları da mazur gösterir.)Bu yörüngeyi daire
  kabul ederek yarıçapını da dünya-güneÅŸ arası uzaklık olan 1.5 milyon
 km olarak alalım.EÄŸer DP=3.1415 ve pi=3.141526 olarak  alırsak
 dünyanın yörüngesinin uzunluÄŸunu 2*1.5*10^6*(pi-DP)=78 km
 hatalı hesaplarız. Bu; uzay uydu hesaplarında, uzay yolculuklarında,
 ihmal edilebilir bir uzaklık deÄŸildir. Ya ay/dünya/güneÅŸ üçlüsün de?
 Veya Andromeda galaksisi gibi binlerce ışık yılı uzaklıklar da?
 Yine örneÄŸin,yerkürenin dönüÅŸ bilgilerini ve küresel geometrinin
 verilerini kullanmazsak,hiçbir uçak yolculuÄŸunu yapamayız.Yerkür
 ölçeÄŸinde bile bu hassaslık gerekliyse varın uzayı/uyduları düÅŸünün!
 
5)Görelilik kuramı v.s karıştırmakla sorum  dallandı. O zaman kısa
 sorayım: Yerküremiz de düzlem geometri kurallarınca/postulatlarınca
 deÄŸeri saptanmış pi sayısı her geometride, evrenin her noktasında,
 her zaman bildiÄŸimiz sabit deÄŸerini korur mu, yoksa deÄŸiÅŸkenlik
 gösterir mi?EÄŸer deÄŸiÅŸkenlik gösteriyorse,deÄŸeri nasıl saptanmaktadır?
 Umarım, sorum daha açıklayıcı olmuÅŸtur.
 Yine de ilginize/yanıtınıza teÅŸekkür eder, saÄŸlık/esenlik ilerim.
 
A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu
 ----- Özgün Ä°leti -----Kimden : luzumi at gmail.comKime : dede <dede_47 at mynet.com>Cc : Matematik Dunyasi <MD-sorular at matematikdunyasi.org>Gönderme tarihi : 07 Nisan 2013 Pazar 22:49Konu : Re: [MD-sorular] DeÄŸiÅŸken Pi
DeÄŸerli Liste Üyeleri,




 
Düzlem geometri de (Euclide) pi sayısı;
"bir çemberin çevresinin çapına oranı" olarak tanımlanır.
Hiperbol geometrisi (Lobatchevski),Küresel geometri
(Riemann) gibi farklı geometrilerde bu tanım korunuyor mu?
 


 
Riemann'ın geometri tanımı çok geneldir, sadece küresel geometriyi deÄŸil her noktadaki geometrik yapısı sürekli olarak deÄŸiÅŸen cisimleri de kapsayan bir kuramdır. 
 


Eğer bu tanım korunuyor ise:
Einsteine'in Görelilik Kuramına göre;evrenimiz de düzlem geometri deÄŸil,
küresel geometri geçerlidir.


 
Görelilik kuramının böyle bir ÅŸey söylediÄŸini sanmıyorum. Ä°mkansız deÄŸildir tabii ama, anladığım kadarıyla görelilik kuramı uzayın metrik yapısını her noktada deÄŸiÅŸen bir miktar olarak tanımlamıştır ve yerçekimini de bunun sonucu (ya da sebebi, ennihayetinde ayrılmaz bir parçası) olarak kurgulamıştır.
 


Küresel gemetride bildiÄŸimiz pi sayısı
DP=(Sin(A)/A)*pi formülü gereÄŸince artık sabit deÄŸil,deÄŸiÅŸkendir.


 
Tam da bu sebepten küre üzerinde pi sayısı gibi bir ÅŸeyden sözedemeyiz derdim ben de. Ne de olsa bir çemberin yarıçapına oranı sabit deÄŸildir. 
 


(A açısı,kürenin merkezinden,üstüne çizilmiÅŸ çemberin çapının bir ucunu
kürenin tepe noktasına birleÅŸtiren doÄŸru arasında ki yayı gören merkez açıdır.)


 
Kürenin tepe noktası deÄŸil de çemberin merkezi demek istediniz herhalde. Çemberin küre üzerinde nerede yer aldığının bu oranla ilgisi olmamalı. Genel riemann uzayları olmasa da küre homojen bir yüzeydir, her noktası birbirine benzer. 
Bir de sadece küre üzerinde yapılacak mesafe ölçümlerini kullansanız daha güzel olur. Küre üzerinde yaÅŸayanların kürenin merkezinden haberi yok. Ancak yine de çemberlerinin çevresini yarıçapın formülü olarak verebilirler.
 
Kürenin üzerinde çok küçük bir parçasındaysanız, çizeceÄŸiniz çemberlerin yarıçaplarına oranı pi'ye çok yakın olur.Dolayısıyla eÄŸer evren dev bir S^3 bile olsa, biz onun küçük bir parçasında yer aldığımız ve uydularımızı küçük bir parçasında dolaÅŸtırdığımız için yaptığımız hesapları düz R^3 uzayındaymış gibi yapabiliriz herhalde. Daha doÄŸrusu bu hesapları bilen birisi bana böyle bir açıklamada bulunsa inanırdım.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20130408/c1b0818b/attachment.htm>


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi