[MD-sorular] Ynt: Re: Değişken Pi
E. Mehmet Kıral
luzumi at gmail.com
8 Nis 2013 Pzt 20:14:16 EEST
İyi günler
1) Riemann geometrisinden küresel geometriyi anlıyor olabilirsiniz, ancak
bu ismin (Riemannian Geometry) karşılık geldiği kavram, güncel matematik
terminolojisinde (güncel olmayanda da bildiğim kadarıyla) küresel geometri
değildir. Dolayısıyla başkaları bunu anlamıyor. Riemann geometrisi küresel
geometriyi özel bir hal olarak içerir.
Riemann geometrisi, riemann uzaylarını inceleyen matematik dalıdır ve bunun
tanımı da bir düzgün çokkatlı ve düzgün çokkatlı üzerinde verilmiş bir
metrikten oluşur. Düzgün çokkatlı, diyelim M, üzerindeki metrikten kasıt da
her P noktasındaki [image: T_{P}M] teğet uzayı üzerinde verilmiş bir iç
çarpımdır. Yani her nokta etrafında çok çok çok yerel olarak bir uzunluk ve
açı tanımı verilmiştir. Daha sonra bu parçaları birleştirmek gerekmektedir.
2) Alıntıladığınız wikipedia sayfasında genel göreliliğin Riemann
uzaylarını kullandığı söylenmektedir. Bir önceki maddenin önemi burada
ortaya çıkıyor. İnsanların genel olarak Riemann geometrisinden anladıkları
küresel geometri değildir, orada o cümleleri yazanların kastettikleri genel
Riemann çokkatlıları üzerinde yapılan geometridir.
Hatta verdiğiniz link'te bahsedilen örnek özel görelilikteki uzay-zaman
4-katlısıdır, oradaki geometri de (o sayfada bahsedildiği gibi) küresel
geometri değil, hiperbolik geometridir.
Uzay-zaman 4-katlısında kendimizi tek bir ana kısıtlarsak uzay
koordinatları arasındaki mesafe bilinen öklid geometrisiyle verilir.
Bu fikir genel görelilikte geliştirilmiş, ve oradaki metrik daha genel
Riemann metriği olmuştur.
3) Doğru diyorsunuz. Tüm dediklerinize katılıyorum. Tabii tüm
çemberlerinizi kuzey kutbu merkezli çizdiğinize dikkat edin. Genelde
çemberlerin merkezi öyle olmak zorunda değil.
Bir de ben Değişken Pi diye bir tanımda bulunmazdım. Ama madem bulundunuz,
olabilir, mahsuru yok.
4) (Ya da tekrar 3) Dünya'nın güneş etrafındaki yörüngesinin elips
olmasıyla evrenin aşağı yukarı dev bir küre üzerinde olmasının bağlantısını
göremiyorum. Evren dev bir 3 boyutlu küre yüzeyi olabilir. Olmayadabilir.
Dünyanın elips olan yörüngesi öklid geometrisi ile hesaplanmış, ve
newton'un yasalarından çıkarılabilen bir sonuçtur.
Bu maddedeki iddanızın genel görelilik ya da Einstein'ın uzay mefhumu ile
alakasını göremiyorum. Anlayabildiğim kadarıyla "Çemberler düzlemdeki
çembere çok yakın olabilir, ama tam değil, o farkı da hesaplamamız lazım."
diyorsunuz. Yoksa dünyanın yörüngesini çember hesaplayan kimse yok zaten.
Newtoncu hesaplamalar da elips olarak hesaplıyor.
5) Hayır sabit bir pi değeri yoktur. Pi sayısını bir çemberin çapına oranı
olarak tanımlanmaktadır ve daha tanımlanmadan önce bu oranın her çember
için sabit olduğu kanıtlanmalıdır. Ben ise genel Riemann geometrisinde
böyle bir sabiti tanımlamaktan kaçınırdım.
İlla tanımlamam gerekiyorsa
pi(x,r)
hem merkezinin konumunun hem de yarıçapın bir fonksiyonu olmak zorunda
olurdu.
Elinizdeki Riemann manifolduna göre de bu fonksiyon değişirdi.
Elimizdeki manifold da bir küre yüzeyi ise (ki bu nereden çıktı hakikaten
bilmiyorum, yani böyle bir ihtimal var ama, üzerinde anlaşılmış bir konu
değil) çemberin merkezine bağlılık ortadan kalkardı çünkü homojen bir
uzayda olurduk.
İyi günler
2013/4/8 dede <dede_47 at mynet.com>
>
>
>
> Sayın E. Mehmet Kral;
>
>
>
> Yanıtınızdan, soruyu tam anlatamadığımı sezdim, maddeler
>
> halinde tekrar anlatayım:
>
> 1)Riemann geometrisi derken, küresel geometriyi kast etmiştim.
>
> Bu geometriden anladığım ise, "Bir küre üzerinde ki geometrik
>
> şekillerin özelliklerini inceleyen" geometriyi anlıyorum.
>
> 2)Görelilik kuramıyla ilgili, öğrenciliğim de öğretilen/okutulan,
>
> Türkçe yazılmış/çevrilmiş popüler konuyla ilgili kitaplardan
>
> (bunların %90 kadarını okudum),Prof.A.Yüksel Özemre'nin
>
> konuyla ilgili yazdığı ders kitaplarında; kuramın hesaplarında
>
> küresel geometrinin kullanıldığını yazmaktadır. Bu, görelilik
>
> kuramının söylediği bir sonuç değildir; Newton mekaniğinin
>
> açıklayamadığı konuları açıklamada kullanılacak geometrinin
>
> en uygun ve elverişli olanın, küresel geometri olmasıdır.
>
> (Aynı hesaplar diğer eğrisel geometrilerle de yapılabilir, ama
>
> hesaplar uzun ve karmaşık olacağından, küresel geometri
>
> tercih edilir. Bu durum sorumun içeriğini/özünü değiştirmez.)
>
> Siz de internette arama yaparsanız, bunun böyle
>
> yazıldığını/söylendiğini görebilirsiniz. Örneğin:
>
> ""...*Einstein developed a set of equations to describe the manner in
> *
>
> * which space-time is distorted by matter. These equations make use *
>
> * of a geometry developed by the 19th-century German mathematician *
>
> * Georg F. B. Riemann. In Riemannian geometry there are no straight *
>
> * lines but only curves. Therefore, the space described by the
> general *
>
> * theory of relativity is a curved space without straight lines*."
>
> (
> http://en.wikisource.org/wiki/Application_of_Lobachevskian_Geometry_in_the_Theory_of_Relativity
> )
>
> "...Einstein; (yakınlarda ki) maddesel kütlenin, uzay-zaman (eğrisini)
>
> bozduğunu gösteren (tanımlayan) denklemler grubu/takımı geliştirdi.
>
> Bu denklemler de(çıkarılışın da),19.yy Alman matematikçisi
>
> Georg F.B.Riemann tarafından geliştirilen geometriyi kullandı.
>
> Riemann geometrisin de, doğru çizgiler/hatlar yoktur, yalnız eğriler
>
> vardır. Bu nedenle, genel görelilik kuramıyla tanımlanan uzay,
>
> doğru çizgileri/hatları olmayan (eğrisel) bir uzaydır."
>
> 3)Dünyayı ideal bir küre olarak düşünün; siz de bir enlem (paralel)
>
> dairesi üzerindesiniz. Bu dairenin çevresini ölçüyorsunuz, pi sayısını
>
> bulmak için çap olarak nereyi alacaksınız? Ekvatora yatay paralel
>
> kesit dairesinin çapını mı, yoksa bu paralel kesit dairenin yatayda
> ki
>
> çapının uçlarını birleştiren daire yayını mı alırsınız? Ekvatora
> paralel
>
> düzlemde boydan boya tünel aç(a)mayacağınıza göre, doğal olarak,
>
> daire yayını çap olarak alacaksınız. İşte bu enlem dairesinin çevresini
>
> bu yay çapa bölerseniz, bildiğimiz pi'yi değil; *DP=(SinA/A)*pi*formülüyle
>
> verilen DP yi bulursunuz.(DP<pi dir. 2A açısı, enlem dairesinin yatay
>
> da ki çapının iki ucunu, küre merkezine birleştiren doğrular
> arasındaki açıdır.)
>
> Bu durum, küre üzerinde çizilecek her daire için doğrudur.
>
> 3)Küre üzerinde çok küçük çemberler çizilmesi halinde pi' ye "çok yakın"
>
> değer elde edeceğimiz doğru; ama bu "çok yakın" değer, "evrenin
>
> küçük bir parçasında bulunmamız ,ve bu küçük parçada uydularımızı
>
> dolaştırmamız" halinde bile büyük hatalara yol açar. Örnek:
>
> Dünyamızın güneş etrafındaki yörüngesi bir elipstir.(Bu yörüngenin,
>
> Newton yasaları gereği, çıkarılan parametrik denklemleri
>
> çizilince yörüngenin, daireye çook yakın olduğu görülür;
>
> Kepler'in devrinin ilkel aletleriyle bu dairenin elips olduğunu
>
> saptaması ve bilinen 3 yasasını bulmasına şapka çıkarılır, bu
>
> zekaya ancak hayranlık duyulur. Kendi devrine kadar, bu yörüngenin
>
> daira olduğunu savunanları da mazur gösterir.)Bu yörüngeyi daire
>
> kabul ederek yarıçapını da dünya-güneş arası uzaklık olan 1.5 milyon
>
> km olarak alalım.Eğer DP=3.1415 ve pi=3.141526 olarak alırsak
>
> dünyanın yörüngesinin uzunluğunu 2*1.5*10^6*(pi-DP)=78 km
>
> hatalı hesaplarız. Bu; uzay uydu hesaplarında, uzay yolculuklarında,
>
> ihmal edilebilir bir uzaklık değildir. Ya ay/dünya/güneş üçlüsün de?
>
> Veya Andromeda galaksisi gibi binlerce ışık yılı uzaklıklar da?
>
> Yine örneğin,yerkürenin dönüş bilgilerini ve küresel geometrinin
>
> verilerini kullanmazsak,hiçbir uçak yolculuğunu yapamayız.Yerkür
>
> ölçeğinde bile bu hassaslık gerekliyse varın uzayı/uyduları düşünün!
>
>
>
> 5)Görelilik kuramı v.s karıştırmakla sorum dallandı. O zaman kısa
>
> sorayım: Yerküremiz de düzlem geometri kurallarınca/postulatlarınca
>
> değeri saptanmış pi sayısı her geometride, evrenin her noktasında,
>
> her zaman bildiğimiz sabit değerini korur mu, yoksa değişkenlik
>
> gösterir mi?Eğer değişkenlik gösteriyorse,değeri nasıl saptanmaktadır?
>
> Umarım, sorum daha açıklayıcı olmuştur.
>
> Yine de ilginize/yanıtınıza teşekkür eder, sağlık/esenlik ilerim.
>
>
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
> ----- *Özgün İleti* -----
> *Kimden :* luzumi at gmail.com
> *Kime :* dede <dede_47 at mynet.com>
> *Cc :* Matematik Dunyasi <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
> *Gönderme tarihi :* 07 Nisan 2013 Pazar 22:49
> *Konu :* Re: [MD-sorular] Değişken Pi
>
> Değerli Liste Üyeleri,
>
>>
>>
>> Düzlem geometri de (Euclide) pi sayısı;
>>
>> "bir çemberin çevresinin çapına oranı" olarak tanımlanır.
>>
>> Hiperbol geometrisi (Lobatchevski),Küresel geometri
>>
>> (Riemann) gibi farklı geometrilerde bu tanım korunuyor mu?
>>
>>
>>
>
> Riemann'ın geometri tanımı çok geneldir, sadece küresel geometriyi değil
> her noktadaki geometrik yapısı sürekli olarak değişen cisimleri de kapsayan
> bir kuramdır.
>
>
>> *Eğer bu tanım korunuyor ise:*
>>
>> Einsteine'in Görelilik Kuramına göre;evrenimiz de düzlem geometri değil,
>>
>> küresel geometri geçerlidir.
>>
>
> Görelilik kuramının böyle bir şey söylediğini sanmıyorum. İmkansız
> değildir tabii ama, anladığım kadarıyla görelilik kuramı uzayın metrik
> yapısını her noktada değişen bir miktar olarak tanımlamıştır ve yerçekimini
> de bunun sonucu (ya da sebebi, ennihayetinde ayrılmaz bir parçası) olarak
> kurgulamıştır.
>
>
>> Küresel gemetride bildiğimiz pi sayısı
>>
>> *DP=(Sin(A)/A)*pi* formülü gereğince artık sabit değil,değişkendir.
>>
>
> Tam da bu sebepten küre üzerinde pi sayısı gibi bir şeyden sözedemeyiz
> derdim ben de. Ne de olsa bir çemberin yarıçapına oranı sabit değildir.
>
>
>> (A açısı,kürenin merkezinden,üstüne çizilmiş çemberin çapının bir ucunu
>>
>> kürenin tepe noktasına birleştiren doğru arasında ki yayı gören merkez
>> açıdır.)
>>
>
> Kürenin tepe noktası değil de çemberin merkezi demek istediniz herhalde.
> Çemberin küre üzerinde nerede yer aldığının bu oranla ilgisi olmamalı.
> Genel riemann uzayları olmasa da küre homojen bir yüzeydir, her noktası
> birbirine benzer.
> Bir de sadece küre üzerinde yapılacak mesafe ölçümlerini kullansanız
> daha güzel olur. Küre üzerinde yaşayanların kürenin merkezinden haberi yok.
> Ancak yine de çemberlerinin çevresini yarıçapın formülü olarak verebilirler.
>
> Kürenin üzerinde çok küçük bir parçasındaysanız, çizeceğiniz çemberlerin
> yarıçaplarına oranı pi'ye çok yakın olur.
>
> Dolayısıyla eğer evren dev bir S^3 bile olsa, biz onun küçük bir
> parçasında yer aldığımız ve uydularımızı küçük bir parçasında
> dolaştırdığımız için yaptığımız hesapları düz R^3 uzayındaymış gibi
> yapabiliriz herhalde. Daha doğrusu bu hesapları bilen birisi bana böyle bir
> açıklamada bulunsa inanırdım.
>
--
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20130408/24896a65/attachment.htm>
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi